《2022年高考数学之解密三角函数命题点对点突破（全国通用）》专题三 三角函数的图象与性质(2)(解析版)

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专题三　三角函数的图象与性质(2)
考点一　三角函数的奇偶性、周期性与对称性
【基本知识】
正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋x＝kπ无
【常用结论】
1．三角函数的周期性
(1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期 T＝．应特别注意函数 y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期为 T＝，函数 y＝|
Asin(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的最小正周期 T＝．
(2)函数 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期 T＝．应特别注意函数 y＝|Acos(ωx＋φ)|的周期为 T＝．函数 y＝|
Acos(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的最小正周期均为 T＝．
(3)函数 y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期 T＝．应特别注意函数 y＝|Atan(ωx＋φ)|的周期为 T＝，函数 y＝|
Atan(ωx＋φ)＋b|(b≠0) 的最小正周期均为 T＝．
2．三角函数的奇偶性
(1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)，是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；
(2)函数 y＝Acos(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)，是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
(3)函数 y＝Atan(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
3．三角函数的对称性
(1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴由 ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解得，对称中心的横坐标由 ωx＋φ＝
kπ(k∈Z)解得；
(2)函数 y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴由 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得，对称中心的横坐标由 ωx＋φ＝kπ＋
(k∈Z)解得；
(3)函数 y＝Atan(ωx＋φ)的图象的对称中心由 ωx＋φ＝(k∈Z)解得．
【方法总结】
三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法
(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则 φ＝kπ＋(k∈Z)，同时当 x＝0时，f(x)取得最大或最小值．若 f(x)
＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则 φ＝kπ(k∈Z)，且当 x＝0时，f(x)＝0．
(2)求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为 y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝
Atan(ωx＋φ)的形式，再分别应用公式 T＝，T＝，T＝求解．
(3)对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是
函数的零点，因此在判断直线 x＝x0或点(x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f(x0)的值
进行判断．
【例题选讲】
[例1] (1) 下列函数中，周期为 π，且在上单调递增的奇函数是(　　)
A．y＝sin　　B．y＝cos　　C．y＝cos　　D．y＝sin
答案　C　解析　y＝sin＝－cos 2x为偶函数，排除 A；y＝cos＝sin 2x在上为减函数，排除 B；y＝
cos＝－sin 2x为奇函数，在上单调递增，且周期为 π，符合题意；y＝sin＝cos x为偶函数，排除 D．故选
C．
(2) 已知函数 f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为 4π，则该函数的图象(　　)
A．关于点对称　　　　　　　　　　B．关于点对称
C．关于直线 x＝对称　　　　　　　　　　D．关于直线 x＝对称
答案　B　解析　因为函数 f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期是 4π，而 T＝＝4π，所以 ω＝，即 f(x)＝
2sin．令＋＝＋kπ(k∈Z)，解得 x＝＋2kπ(k∈Z)，故 f(x)的对称轴为 x＝＋2kπ(k∈Z)，令＋＝kπ(k∈Z)，解
得x＝－＋2kπ(k∈Z)．故 f(x)的对称中心为(k∈Z)，对比选项可知 B正确．
(3) 已知函数 f(x)＝2sin＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为 x＝π，其中 ω为常数，且 ω∈(1，2)，则函数
f(x)的最小正周期为 ．
答 案 　 　解 析 　 由 函 数 f(x)＝2sin ＋1(x∈R)的 图 象 的 一 条 对 称 轴 为 x＝π， 可 得 ωπ－ ＝ kπ
＋，k∈Z，∴ω＝k＋，又 ω∈(1，2)，∴ω＝，∴得函数 f(x)的最小正周期为＝．
(4) 函数 f(x)＝3sin，φ∈(0，π)满足 f(|x|)＝f(x)，则 φ的值为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　C　解析　因为 f(|x|)＝f(x)，所以函数 f(x)＝3sin 是偶函数，所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z，所以 φ＝
kπ＋，k∈Z，又因为 φ∈(0，π)，所以 φ＝．
(5) 同时具有以下性质：“①最小正周期是 π；②图象关于直线 x＝对称；③在上是增函数；④图象的
一个对称中心为”的一个函数是(　　)
A．y＝sin　　　B．y＝sin　　　C．y＝sin　　　D．y＝sin
答案　C　解析　因为最小正周期是 π，所以 ω＝2，排除 A选项；当 x＝时，对于 B，y＝sin＝0，对
于D，y＝sin＝，因为图象关于直线 x＝对称，所以排除 B、D选项，对于 C，sin＝1，sin＝0，且在上是
增函数，故 C满足条件．
(6) 设函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若 f(x)在区间上具有单调性，且 f＝f＝－
f，则 f(x)的最小正周期为 ．
答案　π　解析　记f(x)的最小正周期为 T．由题意知≥－＝，又 f＝f＝－f，且－＝，
可作出示意图如图所示(一种情况)：
∴x1＝×＝，x2＝×＝，∴＝x2－x1＝－＝，∴T＝π．
(7) 已知函数 f(x)＝，则下列说法正确的是 ．(填序号)
①f(x)的周期是；
②f(x)的值域是{y|y∈R，且 y≠0}；
③直线x＝是函数 f(x)图象的一条对称轴；
④f(x)的单调递减区间是，k∈Z．
答案　④　解析　函数 f(x)的周期为 2π，①错；f(x)的值域为[0，＋∞)，②错；当 x＝时，x－＝
≠，k∈Z，∴x＝不是 f(x)的对称轴，③错；令 kπ－<x－≤kπ，k∈Z，可得 2kπ－<x≤2kπ＋，k∈Z，∴f(x)
的单调递减区间是，k∈Z，④正确．
(8) 设定义在 R上的函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)，给出以下四个论断：① f(x)的最小正周期为 π；② f(x)在区
间上是增函数；③ f(x)的图象关于点对称；④ f(x)的图象关于直线 x＝对称．以其中两个论断作为条件，另
两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题(写成“p⇒q”的形式)__________．(用到的论断都用序号
表示)
答案　①④⇒②③或①③⇒②④　解析　若f(x)的最小正周期为 π，则 ω＝2，函数 f(x)＝sin(2x＋φ)．
同时若 f(x)的图象关于直线 x＝对称，则 sin＝±1，又－<φ<，∴2×＋φ＝，∴φ＝，此时 f(x)＝sin，②③成
立，故①④⇒②③．若 f(x)的最小正周期为 π，则 ω＝2，函数 f(x)＝sin(2x＋φ)，同时若 f(x)的图象关于点
对称，则 2×＋φ＝kπ，k∈Z，又－<φ<，∴φ＝，此时 f(x)＝sin，②④成立，故①③⇒②④．
【对点训练】
1．在函数① y＝cos|2x|，② y＝|cos x|，③ y＝cos，④ y＝tan 中，最小正周期为 π的所有函数
为(　　)
A．①②③　　　　　　B．①③④　　　　　　C．②④　　　　　　D．①③
1．答案　A　解析　因为 y＝cos|2x|＝cos 2x，所以该函数的周期为＝π；由函数 y＝|cos x|的图象易知其
周期为 π；函数 y＝cos 的周期为＝π；函数 y＝tan 的周期为，故最小正周期为 π的函数是①②③．
2．函数 y＝|tan(2x＋φ)|的最小正周期是(　　)
A．2π　　　　　　　　B．π　　　　　　　　C． 　　　　　　　　D．
2．答案　C　解析　结合图象及周期公式知 T＝
3．若 x＝是函数 f(x)＝sin，x∈R的一个零点，且 0<ω<10，则函数 f(x)的最小正周期为________．
3．答案　π　解析　依题意知，f＝sin＝0，即－＝kπ，k∈Z，整理得 ω＝8k＋2，k∈Z．又
因为 0<ω<10，所以 0<8k＋2<10，得－<k<1，而 k∈Z，所以 k＝0，ω＝2，所以 f(x)＝sin，f(x)的最小
正周期为 π．
4．若函数 f(x)＝sin(φ∈[0，2π])是偶函数，则 φ＝(　　)
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