《2022年高考数学之解密三角函数命题点对点突破（全国通用）》专题七 三角恒等变换应用篇(选填题)(解析版)

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专题七 三角恒等变换应用篇(选填题)
1．求解三角函数的性质问题的三种意识
(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．
先将 y＝f(x)用和角、差角公式或用降幂公式化为 y＝asinx＋bcosx的形式，然后用辅助角公式化为 y
＝Asin(ωx＋φ)的形式．
(2)整体意识：类比 y＝sinx的性质，只需将 y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成 y＝sinx中的“x”，采用
整体代入求解．
①令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程．
②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标．
③将ωx＋φ看作整体，可求得 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注意 ω的符号．
(3)讨论意识：当 A为参数时，求最值应分情况讨论 A>0，A<0.
2．求解三角函数的性质的三种方法
(1)求单调区间的两种方法
① 代换法：求形如 y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间时，
令ωx＋φ＝z，则y＝Asinz(或y＝Acosz)，然后由复合函数的单调性求得．
② 图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．
(2)判断对称中心与对称轴的方法：利用函数 y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低
点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验 f(x0)的值进行判断．
(3)求周期的两种方法
① 公式法：利用公式 y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周
期为．
② 图象法：画出三角函数的图象，结合图象求周期．
考点一　三角函数的性周期、奇偶性与对称性
【例题选讲】
[例1] (1)下列函数中，是周期函数且最小正周期为 π的是(　　)
A．y＝sin x＋cos x
　　
B．y＝sin2x－cos2x
　　
C．y＝cos|x|　　D．y＝3sincos
答案　B　解析　对于 A，函数 y＝sin x＋cos x＝sin 的最小正周期是 2π，不符合题意；对于 B，函数
y＝sin2x－cos2x＝(1－cos 2x)－(1＋cos 2x)＝－cos 2x的最小正周期是 π，符合题意；对于 C，y＝cos|x|＝
cos x的最小正周期是 2π，不符合题意；对于 D，函数 y＝3sincos＝sin x的最小正周期是 2π，不符合题意．
故选 B．
(2) 函数 f(x)＝sin xcos x＋cos2x的最小正周期为(　　)
A．4π　　　　　　　　B．3π　　　　　　　　C．2π　　　　　　　　D．π
答案　D　解析　函数 f(x)＝sin xcos x＋cos2x＝sin 2x＋·＝sin＋，最小正周期为＝π，故选 D．
(3) 将函数 y＝cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于 y轴对称，
则m的最小值是(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　A　解析　设f(x)＝cosx＋sinx＝2(cosx＋sinx)＝2sin(＋x)，向左平移 m个单位长度得 g(x)＝
2sin(x＋m＋)．∵g(x)的图象关于 y轴对称，∴g(x)为偶函数，∴＋m＝＋kπ(k∈Z)，∴m＝＋kπ(k∈Z)，又
m>0，∴m的最小值为
(4) 已知函数 f(x)＝2sin(π＋x)·sin(x＋＋φ)的图象关于原点对称，其中 φ∈(0，π)，则 φ＝______．
答案　　解析　因为 f(x)＝2sin(π＋x)sin(x＋＋φ)的图象关于原点对称，所以函数 f(x)＝2sin(π＋x)sin(x
＋＋φ)为奇函数，则 y＝sin(x＋＋φ)为偶函数，又 φ∈(0，π)，所以 φ＝．
(5) 函数 f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1的图象的对称轴可能为(　　)
A．x＝　　　　　　　　B．x＝　　　　　　　　C．x＝　　　　　　　　D．x＝－
答案　A　解析　f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1＝sin 2x＋cos 2x＝sin，令 2x＋＝kπ＋(k∈Z)，解得 x＝
＋，(k∈Z)，当 k＝0时，x＝，故选 A．
(6) 函数 f(x)＝sincos，给出下列结论：
①f(x)的最小正周期为 π；② f(x)的图象的一条对称轴为 x＝；③ f(x)的图象的一个对称中心为；④ f是
奇函数．
其中正确结论的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．4
答案　B　解析　函数 f(x)＝sincos＝sin，∴f(x)的最小正周期为 T＝＝π，故①正确，又当 x＝时，2x
＋＝，故②③错误，∵f＝sin＝sin 2x，∴f是定义域为 R的奇函数，故④正确．∴①④正确，故选 B．
【对点训练】
1．(2017·山东)函数 y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．π　　　　　　　　D．2π
1．答案　C　解析　∵y＝sin2x＋cos2x＝2sin，∴最小正周期 T＝＝π．
2．函数 f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)的最小正周期是(　　)
A．　　　　　　　　B．π　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．2π
2．答案　B　解析　法一：∵f(x)＝(sinx＋cosx)(cosx－sin x)＝4
＝4sincos＝2sin，∴T＝＝π．
法二：∵f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)＝3sin xcos x＋cos2x－sin2x－sin xcos x＝sin 2x＋cos 2x＝
2sin，∴T＝＝π．故选 B．
3．(2018·全国Ⅲ)函数 f(x)＝的最小正周期为(　　)
A．　　　　　　　B．　　　　　　　C．π　　　　　　　　D．2π
3．答案　C　解析　由已知得 f(x)＝＝＝＝sin xcos x＝sin 2x，所以 f(x)的
最小正周期为 T＝＝π．
4．函数 y＝1－2sin2是(　　)
A．最小正周期为 π的奇函数　　　　　　B．最小正周期为 π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数　　　　　　D．最小正周期为的偶函数
4．答案　A　解析　y＝1－2sin2＝cos 2x－＝－sin 2x，所以 f(x)是最小正周期为 π的奇函数．
5．函数 f(x)＝(1＋cos 2x)sin2x(x∈R)是(　　)
A．最小正周期为 π的奇函数　　　　　　　　B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为 π的偶函数　　　　　　　　D．最小正周期为的偶函数
5．答案　D　解析　由题意知，f(x)＝(1＋cos 2x)sin2x＝(1＋cos 2x)(1－cos 2x)＝(1－cos22x)＝(1－cos
4x)，即 f(x)＝(1－cos 4x)，则 T＝＝，f(－x)＝(1－cos 4x)＝f(x)，因此函数 f(x)是最小正周期为的偶函数．
6．已知函数 f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)是偶函数，则 θ的值为(　　)
A．0　　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
6．答案　B　解析　据已知可得 f(x)＝2sin，若函数为偶函数，则必有 θ＋＝kπ＋(k∈Z)，又由
于θ∈，故有 θ＋＝，解得 θ＝，经代入检验符合题意．
7．将函数 f(x)＝cosx－sinx(x∈R)的图象向左平移 a(a>0)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，
则a的最小值是(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
7．答案　B　解析　f(x)＝cos x－sin x＝2＝2cos，将 f(x)的图象向左平移 a(a>0)
个单位长度后得到 y＝2cos 的图象，则由题意知＋a＝＋kπ，k∈Z，所以 a＝＋kπ，k∈Z，又因为
a>0，所以 a的最小值为．
8．定义运算：＝a1a4－a2a3，将函数 f(x)＝(ω＞0)的图象向左平移个单位长度，
所得图象对应的函数为偶函数，则 ω的最小值是(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
8．答案　B　解析　依题意得 f(x)＝cosωx－sinωx＝2cos，且函数 f＝2cos
＝2cos 是偶函数，于是有＋＝kπ，k∈Z，即 ω＝，k∈Z．又 ω＞0，所以 ω的最小值是×＝，选 B．
9．将函数 f(x)＝sin 2x＋cos2x图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)，再将图象上所有
点向右平移个单位长度，得到函数 g(x)的图象，则 g(x)图象的一条对称轴方程是(　　)
A．x＝－　　　　　　　　B．x＝　　　　　　　　C．x＝　　　　　　　　D．x＝
9．答案　D　解析　将函数 f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2
倍，得 y＝2sin 的图象，再将图象上所有点向右平移个单位长度，得 g(x)＝2sin＝2sin 的图象．令 x＋
＝＋kπ(k∈Z)，得 x＝＋kπ(k∈Z)，当 k＝0时，x＝，所以 g(x)图象的一条对称轴方程是 x＝．
10．将函数 f(x)＝cosx－sinx的图象向右平移 θ个单位后得到的图象关于直线 x＝对称，则 θ的最小正
值为________．
10．答案　　解析　将函数 f(x)＝2cos 的图象向右平移 θ个单位后得到 f(x)＝2cos，其图
象关于直线 x＝对称，则－θ＝kπ，k∈Z，θ＝－kπ，k∈Z，当 k＝0时，θ取得最小正值．
11．将函数 f(x)＝sin xcos x的图象向右平移个单位长度后得到函数 g(x)的图象，若对于任意 x∈R都有 g(θ
＋x)＝g(θ－x)，则 tan2θ＝(　　)
A．　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．
11．答案　C　解析　由f(x)＝sin xcos x＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得 g(x)＝sin 2＝
sin．又因为 g(θ＋x)＝g(θ－x)，所以 g(x)的图象关于 x＝θ对称，令 2x－＝＋kπ，k∈Z，得 x＝
＋，k∈Z，所以 θ＝＋，k∈Z，故 tan 2θ＝tan 2＝tan＝tan＝－．故选 C．
12．已知 f(x)＝4cos xcos，则下列说法中错误的是(　　)
A．函数 f(x)的最小正周期为 π
B．函数 f(x)在上单调递减
C．函数 f(x)的图象可以由函数 y＝cos＋1图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的 2倍得到
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