《2022年高考数学之解密三角函数命题点对点突破（全国通用）》专题七 三角恒等变换应用篇(解答题)(原卷版)

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专题七 三角恒等变换应用篇(解答题)
三角函数图象与性质的综合问题
典例 (12 分)已知函数 f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若将 f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)在区间[0，π]上的最大值
和最小值．
思维点拨　(1)先将 f(x)化成 y＝Asin(ωx＋φ)的形式再求周期；
(2)将f(x)解析式中的 x换成 x－，得 g(x)，然后利用整体思想求最值．
规范解答
解　(1)f(x)＝2sincos－sin(x＋π)＝cos x＋sin x[3 分]
＝2sin，[5 分]
于是 T＝＝2π．[6 分]
(2)由已知得 g(x)＝f＝2sin，[8 分]
∵x∈[0，π]，∴x＋∈，∴sin∈，[10 分]
∴g(x)＝2sin∈[－1,2]．[11 分]
故函数 g(x)在区间[0，π]上的最大值为 2，最小值为－1．[12 分]
解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤
第一步：(化简)将f(x)化为 asin x＋bcos x的形式；
第二步：(用辅助角公式)构造 f(x)＝·；
第三步：(求性质)利用 f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质；
第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用
典例 (12 分)(2016·天津)已知函数 f(x)＝4tan x·sin·cos－．
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论 f(x)在区间上的单调性．
思想方法指导　(1)讨论形如 y＝asin ωx＋bcos ωx 型函数的性质，一律化成 y＝sin(ωx＋φ)型的函数．
(2)研究 y＝Asin(ωx＋φ)型函数的最值、单调性，可将 ωx＋φ视为一个整体，换元后结合 y＝sin x的图
象解决．
规范解答
解　(1)f(x)的定义域为．
f(x)＝4tan xcos xcos－＝4sin xcos－＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－＝sin 2x＋(1－cos 2x)－＝sin 2x－cos 2x＝2sin．[5 分]
所以 f(x)的最小正周期 T＝＝π．[6 分]
(2)因为 x∈，所以 2x－∈，[8 分]
由y＝sin x的图象可知，当 2x－∈，即 x∈时，f(x)单调递减；
当2x－∈，即 x∈时，f(x)单调递增．[10 分]
所以当 x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．[12 分]
【例题选讲】
[例1] (2018·浙江)已知角 α的顶点与原点 O重合，始边与 x轴的非负半轴重合，它的终边过点 P．
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角 β满足 sin(α＋β)＝，求 cosβ的值．
解　(1)由角 α的终边过点 P得sin α＝－，所以 sin(α＋π)＝－sin α＝．
(2)由角 α的终边过点 P得cos α＝－，由 sin(α＋β)＝得 cos(α＋β)＝±．
由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以 cos β＝－或 cos β＝．
[例2] 已知函数 f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x．
(1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)若α∈(0，π)，且 f＝，求 tan 的值．
解　(1)∵f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin，
∴函数 f(x)的最小正周期 T＝．令 2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，得＋≤x≤＋，k∈Z．
∴函数 f(x)的单调递减区间为，k∈Z．
(2)∵f＝，∴sin＝1．又 α∈(0，π)，∴－<α－<，∴α－＝，故 α＝．
因此 tan＝＝＝2－．
[例3] (2018·山东)设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单
位，得到函数 y＝g(x)的图象，求 g的值．
解　(1)f(x)＝2sin2x－(1－2sin xcos x)＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1＝sin 2x－cos 2x＋－1
＝2sin＋－1．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得 kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以 f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，把 y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)，得到
y＝2sin＋－1的图象，再把所得到的图象向左平移个单位，得到 y＝2sin x＋－1的图象，即 g(x)＝2sin x＋
－1．所以 g＝2sin ＋－1＝．
[例4] 已知函数 f(x)＝4sin xcos－．
(1)求函数 f(x)的单调区间；
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