《2022年高考数学之解密三角函数命题点对点突破（全国通用）》专题二 同角三角函数基本关系式及诱导公式(原卷版)

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专题二 同角三角函数基本关系式及诱导公式
考点一　同角三角函数基本关系式的应用
【基本知识】
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：＝tan α．
【常用结论】
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α．
(2)sin α＝tan αcos α．
【方法总结】
同角三角函数关系在解题中的应用
(1)对于 sin α，cos α，tan α，由公式 sin2α＋cos2α＝1，tan α＝，可以“知一求二”．
(2)对于 sin α±cos α，sin αcos α，由下面三个关系式(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，(sin α＋cos α)2＋(sin
α－cos α)2＝2，可以“知一求二”．
(3)sin α，cos α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于 sin α，cos α的齐次式，或含有
sin2α，cos2α及sin αcos α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转
化为“切”求解．
【例题选讲】
[例1] (1) 已知 sin α＝，≤α≤π，则 tan α＝(　　)
A．－2　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－
答案　D　解析　因为≤α≤π，所以 cos α＝－＝－＝－，所以 tan α＝＝－．
(2)已知 α是第四象限角，tanα＝－，则 sinα等于(　　)
A．　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－
答案　D　解析　因为 tan α＝－，所以＝－，所以 cos α＝－sin α，代入 sin2α＋cos2α＝1，解得 sin α
＝±，又 α是第四象限角，所以 sin α＝－．
(3) (2017·全国Ⅲ)已知 sin α－cos α＝，则 sin 2α＝(　　)
A．－　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　A　解析　将sin α－cos α＝的两边进行平方，得 sin2 α－2sin αcos α＋cos2α＝，即 sin 2α＝－
(4) 若θ∈，sin θ·cos θ＝，则 sin θ＝(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　D　解析　∵sin θ·cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos
θ＝，∵θ∈，∴sin θ＋cos θ＝　①，sin θ－cos θ＝　②，联立①②得，sin θ＝．
(5) 已知 sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则＝(　　)
A．－　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－
答案　A　解析　因为 sin α＋cos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，所以 sin αcos α＝－，
又因为 α∈(0，π)，所以 sin α>0，cos α<0，所以 cos α－sin α<0，因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－
2×＝，所以 cos α－sin α＝－，所以＝＝＝＝－．
(6) 若tan α＝2，则的值为(　　)
A．－　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　C　解析　＝＝＝
(7)已知 α∈R，sin2α＋4sin αcos α＋4cos2α＝，则 tan α＝________．
答案　3或－　解析　∵sin2α＋4sin αcos α＋4cos2α＝＝＝，∴3tan2α－8tanα－3＝0，解得 tan α＝3或
－．
(8) (2016·全国Ⅲ)若tan α＝，则 cos2α＋2sin 2α＝(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．
答案　A　解析　因为 tan α＝，则 cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝．故选 A．
【对点训练】
1．若 sin α＝－，且 α为第四象限角，则 tan α的值为(　　)
A．　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－
2．已知 2sin α＝1＋cos α，则 tan α的值为(　　)
A．－　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．－或 0　　　　　　　　D．或 0
3．若 sin θ＋cos θ＝，则 tan θ＋＝(　　)
A．　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－
4．已知 sin αcos α＝，且<α<，则 cos α－sin α的值为(　　)
A．－　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．
5．已知 0<α<，若 cos α－sin α＝－，则的值为 ．
6．已知 sin α＋cos α＝，α∈[0，π]，则 tan α＝(　　)
A．－　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
7．若 sin θ，cos θ是方程 4x2＋2mx＋m＝0的两根，则 m的值为(　　)
A．1＋　　　　　B．1－　　　　　C．1±　　　　　　D．－1－
8．已知 tan α＝－，则 sinα·(sin α－cos α)＝(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
9．已知 tan θ＝2，则 sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝(　　)
A．－　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．
10．已知 tan θ＝2，则的值为(　　)
A．　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．－1
11．已知 x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝．
(1)求sin x－cos x的值；
(2)求的值．
12．已知 tan α＝－，求：(1)的值；(2)的值；(3)sin2α＋2sin αcos α的值．
考点二　诱导公式的应用
【基本知识】
公式 一 二 三 四 五 六
角2kπ＋α(k∈Z) π＋α－απ－α－α＋α
正弦 sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α
《2022年高考数学之解密三角函数命题点对点突破（全国通用）》专题二 同角三角函数基本关系式及诱导公式(原卷版).docx

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