《2022年高考数学之解密三角函数命题点对点突破（全国通用）》专题二 同角三角函数基本关系式及诱导公式(解析版)

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专题二　同角三角函数基本关系式及诱导公式
考点一　同角三角函数基本关系式的应用
【基本知识】
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：＝tan α．
【常用结论】
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α．
(2)sin α＝tan αcos α．
【方法总结】
同角三角函数关系在解题中的应用
(1)对于 sin α，cos α，tan α，由公式 sin2α＋cos2α＝1，tan α＝，可以“知一求二”．
(2)对于 sin α±cos α，sin αcos α，由下面三个关系式(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，(sin α＋cos α)2＋(sin
α－cos α)2＝2，可以“知一求二”．
(3)sin α，cos α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于 sin α，cos α的齐次式，或含有
sin2α，cos2α及sin αcos α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转
化为“切”求解．
【例题选讲】
[例1] (1) 已知 sin α＝，≤α≤π，则 tan α＝(　　)
A．－2　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－
答案　D　解析　因为≤α≤π，所以 cos α＝－＝－＝－，所以 tan α＝＝－．
(2)已知 α是第四象限角，tanα＝－，则 sinα等于(　　)
A．　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－
答案　D　解析　因为 tan α＝－，所以＝－，所以 cos α＝－sin α，代入 sin2α＋cos2α＝1，解得 sin α
＝±，又 α是第四象限角，所以 sin α＝－．
(3) (2017·全国Ⅲ)已知 sin α－cos α＝，则 sin 2α＝(　　)
A．－　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　A　解析　将sin α－cos α＝的两边进行平方，得 sin2 α－2sin αcos α＋cos2α＝，即 sin 2α＝－
(4) 若θ∈，sin θ·cos θ＝，则 sin θ＝(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　D　解析　∵sin θ·cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos
θ＝，∵θ∈，∴sin θ＋cos θ＝　①，sin θ－cos θ＝　②，联立①②得，sin θ＝．
(5) 已知 sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则＝(　　)
A．－　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－
答案　A　解析　因为 sin α＋cos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，所以 sin αcos α＝－，
又因为 α∈(0，π)，所以 sin α>0，cos α<0，所以 cos α－sin α<0，因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－
2×＝，所以 cos α－sin α＝－，所以＝＝＝＝－．
(6) 若tan α＝2，则的值为(　　)
A．－　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　C　解析　＝＝＝
(7)已知 α∈R，sin2α＋4sin αcos α＋4cos2α＝，则 tan α＝________．
答案　3或－　解析　∵sin2α＋4sin αcos α＋4cos2α＝＝＝，∴3tan2α－8tanα－3＝0，解得 tan α＝3或
－．
(8) (2016·全国Ⅲ)若tan α＝，则 cos2α＋2sin 2α＝(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．
答案　A　解析　因为 tan α＝，则 cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝．故选 A．
【对点训练】
1．若 sin α＝－，且 α为第四象限角，则 tan α的值为(　　)
A．　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－
1．答案　D　解析　因为 α为第四象限角，故 cos α＝＝ ＝，所以 tan α＝
＝＝－．
2．已知 2sin α＝1＋cos α，则 tan α的值为(　　)
A．－　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．－或 0　　　　　　　　D．或 0
2．答案　D　解析　由2sin α＝1＋cos α得sin α≥0，且 4sin2α＝1＋2cos α＋cos2α，因而 5cos2α＋2cos α－3
＝0，解得 cos α＝或 cos α＝－1，那么 tan α＝或 0，故选 D．
3．若 sin θ＋cos θ＝，则 tan θ＋＝(　　)
A．　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－
3．答案　D　解析　由sin θ＋cos θ＝，得 1＋2sin θcos θ＝，即 sin θcos θ＝－，则 tan θ＋＝
＋＝＝－，故选 D．
4．已知 sin αcos α＝，且<α<，则 cos α－sin α的值为(　　)
A．－　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．
4．答案　B　解析　∵<α<，∴cos α<0，sin α<0 且|cos α|<|sin α|，∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2
＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，∴cos α－sin α＝．
5．已知 0<α<，若 cos α－sin α＝－，则的值为 ．
5．答案　　解析　因为 cos α－sin α＝－，①，所以 1－2sin αcos α＝，即 2sin αcos α＝．所以
(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋＝．又 0<α<，所以 sin α＋cos α>0．所以 sin α＋cos α＝．②，由
①②得sin α＝，cos α＝，tan α＝2，所以＝．
6．已知 sin α＋cos α＝，α∈[0，π]，则 tan α＝(　　)
A．－　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
6．答案　A　解析　将sin α＋cos α＝，①．左右两边平方，得 1＋2sin αcos α＝，即 2sin αcos α＝－
<0．又 α∈[0，π]，∴sin α>0，cos α<0，即 sin α－cos α>0，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，∴sin
α－cos α＝，②．联立①②解得 sin α＝，cos α＝－，则 tan α＝＝－．
7．若 sin θ，cos θ是方程 4x2＋2mx＋m＝0的两根，则 m的值为(　　)
A．1＋　　　　　B．1－　　　　　C．1±　　　　　　D．－1－
7．答案　B　解析　由题意知 sin θ＋cos θ＝－，sin θcos θ＝，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴
＝1＋，解得 m＝1±，又 Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0 或m≥4，∴m＝1－．
8．已知 tan α＝－，则 sinα·(sin α－cos α)＝(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
8．答案　A　解析　sin α·(sin α－cos α)＝sin2α－sin α·cos α＝＝，将 tan α＝－
代入，得原式＝＝，故选 A．
9．已知 tan θ＝2，则 sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝(　　)
A．－　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．
9．答案　D　解析　sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝＝，把 tan θ＝2代
入得，原式＝＝．故选 D．
10．已知 tan θ＝2，则的值为(　　)
A．　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．－1
10．答案　B　解析　∵tan θ＝2，∴＝＝＝1．
11．已知 x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝．
(1)求sin x－cos x的值；
(2)求的值．
11．解　(1)由sin x＋cos x＝，平方得 sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，整理得 2sin xcos x＝－．
∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝．由 x∈(－π，0)，知 sin x<0，又 sin x＋cos x>0，
∴cos x>0，则 sin x－cos x<0，故 sin x－cos x＝－．
(2)＝＝＝＝－．
12．已知 tan α＝－，求：(1)的值；(2)的值；(3)sin2α＋2sin αcos α的值．
12．解　(1)＝＝＝．
(2)＝＝＝＝＝－．
(3)sin2α＋2sin αcos α＝＝＝＝－．
考点二　诱导公式的应用
【基本知识】
公式 一 二 三 四 五 六
角2kπ＋α(k∈Z) π＋α－απ－α－α＋α
正弦 sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α
余弦 cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α
正切 tan αtan α－tan α－tan α
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”“偶”指的是“k·＋α(k∈Z)”中的 k是奇数还
是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若 k是奇数，则正、余弦互变；若 k为偶数，则函数
名称不变．“符号看象限”指的是在“k·＋α(k∈Z)”中，将 α看成锐角时，“k·＋α(k∈Z)”的终边所在的
象限．
【方法总结】
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