《2022年高考数学之解密解三角形命题点对点突破（全国通用）》专题一 三角形中基本量的计算问题(解析版)

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专题一　三角形中基本量的计算问题
1．正、余弦定理
在△ABC 中，若角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，R为△ABC 外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccosA；
b2＝c2＋a2－2cacosB；
c2＝a2＋b2－2abcosC．
变形
(1) a＝，b＝，c＝；
(2) sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
(4)sinA＝，sinB＝，sinC＝；
(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；
(6)＝2R．
cosA＝；
cosB＝；
cosC＝．
2．三角形面积公式
S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝＝(a＋b＋c)·r(r，R为别是△ABC 内切圆半径和外接圆半径)，并可由
此计算 R、r．
3．解三角形有关的二级结论
(1)三角形内角和定理
在△ABC 中，A＋B＋C＝π；变形：＝－．
(2)三角形中的三角函数关系
sin(①A＋B)＝sinC；② cos(A＋B)＝－cosC；③ tan(A＋B)＝－tanC(C≠)；④ sin＝cos；⑤ cos＝sin．
⑥在非 Rt△ABC 中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC(A，B，C≠)．
(3)三角形中的不等关系
① 在三角形中大边对大角，大角对大边．
②A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB
．
③ 若△ABC 为锐角三角形，则 A＋B>，sinA>cosB，cosA<sinB，a2＋b2>c2．若△ABC 为钝角三角形
(假如 C为钝角)，则 A＋B<，sinA<cosB，cosA>sinB．
④c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2<a2＋b2⇔C为锐角．
⑤a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b．
⑥若x∈，则 sin x＜x＜tan x．若 x∈，则 1＜sin x＋cos x≤．
(4)三角形中的射影定理
在△ABC 中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．
在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．若出现边的一次式
一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．若已知条件同时含有边和角，但不能直接
使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
①若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”，然后进行代数式变形；
②若式子中含有 a，b，c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”，然后进行三角恒等变换；
③若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”，然后进行代数式变形；
④含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
⑤同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．
考点一　计算三角形中的角或角的三角函数值
【方法总结】
计算三角形中的角或角的三角函数值的解题技巧
此类问题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，最简单的问题是只用正弦定理或余弦定
理即可解决．中等难度的问题要结合三角恒等变换再用正弦定理或余弦定理即可解决．难度较大的问题
要结合三角恒等变换并同时用正弦定理、余弦定理和面积公式才能解决．
【例题选讲】
[例1](1) (2013·湖南)在锐角△ABC 中，角 A，B所对的边长分别为 a，b，若 2asinB＝b，则角 A等于(
)
A．　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　D．
答案　D　解析　在△ABC 中，利用正弦定理得，2sinAsinB＝sinB，∴sinA＝．又 A为锐角，∴A＝．
(2)(2017·全国Ⅲ)△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c．已知 C＝60°，b＝，c＝3，则 A＝
________．
答案　(1)75°　解析　由正弦定理，得 sinB＝＝＝，结合 b<c得B＝45°，则 A＝180°－B－C＝75°．
(3)在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c．已知 8b＝5c，C＝2B，则 cosC等于(　　)
A．　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．±　　　　　　　　D．
答案 　A　解析　∵8b＝5c，∴由正弦定理，得 8sin B＝5sin C．又∵C＝2B，∴8sin B＝5sin
2B，∴8sinB＝10sin Bcos B．∵sin B≠0，∴cos B＝，∴cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝．
(4) (2017·全国Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c．已知 sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a
＝2，c＝，则 C＝(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　B　解析　由题意得 sin(A＋C)＋sinA(sinC－cosC)＝0，∴sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－
sinAcosC＝0，则 sinC(sinA＋cosA)＝sinCsin＝0，因为 C∈(0，π)，所以 sinC≠0，所以 sin＝0，又因为
A∈(0，π)，所以 A＋＝π，所以 A＝．由正弦定理＝，得＝，则 sinC＝，又 C∈(0，π)，得 C＝．
(5) (2018·全国Ⅲ)△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若△ABC 的面积为，则 C＝(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　C　解析　因为 a2＋b2－c2＝2abcos C，且 S△ABC＝，所以 S△ABC＝＝absin C，所以 tan C＝1．又
C∈(0，π)，故 C＝．
(6) (2016·山东)△ABC 中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，已知 b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则 A等
于(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　C　解析　在△ABC 中，由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccosA，∵b＝c，∴a2＝2b2(1－cosA)，又
∵a2＝2b2(1－sinA)，∴cosA＝sinA，∴tanA＝1，∵A∈(0，π)，∴A＝，故选 C．
(7)E，F是等腰直角三角形 ABC 斜边 AB 上的三等分点，则 tan∠ECF＝________．
答案　　解析　如图，设 AB＝6，则 AE＝EF＝FB＝2．因为△ABC 为等腰直角三角形，所以 AC＝BC
＝3．在△ACE 中，A＝45°，AE＝2，AC＝3，由余弦定理可得 CE＝．同理，在△BCF 中可得 CF＝．在
△CEF 中，由余弦定理得 cos∠ECF＝＝，所以 tan∠ECF＝．
(8)(2014·天津)在△ABC 中，内角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c.已知 b－c＝a，2sinB＝3sinC，则
cosA的值为________．
答案　－　解析　由2sinB＝3sinC及正弦定理得 2b＝3c，即 b＝c．又 b－c＝a，∴c＝a，即 a＝2c．
由余弦定理得 cosA＝＝＝＝－．
(9)在△ABC 中，角 A，B，C所对的边长分别为 a，b，c，sinA，sinB，sinC成等比数列，且 c＝2a，
则cos B的值为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　B　解析　因为 sinA，sinB，sinC成等比数列，所以 sin2B＝sinAsinC，由正弦定理得 b2＝ac，
又c＝2a，故 cos B＝＝＝．
(10)在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c．若＋＝6cosC，则＋的值是________．
答案　4　解析　由＋＝6cosC及余弦定理，得＋＝6×，化简得 a2＋b2＝c2．又＋＝6cosC及正弦定理，
得＋＝6cosC，故sinAsinBcosC＝(sin2B＋sin2A)．又＋＝＝，所以＋＝＝＝4．
【对点训练】
1．在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若＝，则 cosB等于(　　)
A．－　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．
1．答案　B　解析　由正弦定理知＝＝1，即 tanB＝，由 B∈(0，π)，所以 B＝，所以 cos
B＝cos＝，故选 B．
2．在△ABC 中，已知(b＋c)∶(a＋c)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则 sin A∶sin B∶sin C等于________．
2．答案　7∶5∶3　解析　∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，∴＝＝．令＝＝
＝k(k>0)，则，解得∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝7∶5∶3．
3．在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，若 a＝b，A＝2B，则 cosB＝(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
3．答案　B　解析　由正弦定理，得 sinA＝sinB，又 A＝2B，所以 sinA＝sin2B＝2sinBcosB，所以
cosB＝．
4．已知 a，b，c为△ABC 的三个内角 A，B，C所对的边，若 3bcosC＝c(1－3cosB)，则 sinC∶sinA＝(
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