《2022年高考数学之解密解三角形命题点对点突破（全国通用）》专题四 三角形中的最值(范围)问题(原卷版)

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专题四　三角形中的最值(范围)问题
三角形中最值(范围)问题的解题思路
任何最值(范围)问题，其本质都是函数问题，三角形中的范围最值问题也不例外．三角形中的范围
最值问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解．一般求最值用基本不等式，
求范围用函数．由于三角形中的最值(范围)问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数
问题的基本要求外，还有自己独特的解法．
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，
转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身
范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．
考点一　三角形中与角或角的函数有关的最值(范围)
【例题选讲】
[例1](1)在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，且 a＞b＞c，a2＜b2＋c2，则角 A的取值范
围是(　　)
A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．
答案　C　解析　因为 a2＜b2＋c2，所以 cosA＝＞0，所以 A为锐角．又因为 a＞b＞c，所以 A为最大
角，所以角 A的取值范围是．
(2)在△ABC 中，若 AB＝1，BC＝2，则角 C的取值范围是(　　)
A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．
答案　A　解析　因为 c＝AB＝1，a＝BC＝2，b＝AC．根据两边之和大于第三边，两边之差小于第
三边可知 1<b<3，根据余弦定理 cosC＝(a2＋b2－c2)＝(4＋b2－1)＝(3＋b2)＝＋＝2＋≥．所以 0<C≤．故选
A．
(3)在△ABC 中，内角 A，B，C对应的边分别为 a，b，c，A≠，sinC＋sin(B－A)＝sin2A，则角 A的取
值范围为(　　)
A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．
答案　B　解析　法 一：在△ABC 中，C＝π－(A＋B)，所以 sin(A＋B)＋sin(B－A)＝sin2A，即
2sinBcosA＝2sinAcosA，因为 A≠，所以 cosA≠0，所以 sinB＝sinA，由正弦定理得，b＝a，所以 A为锐角，
又sinB＝sinA∈(0,1]，所以 sinA∈，所以 A∈．
法二：在△ABC 中，C＝π－(A＋B)，所以 sin(A＋B)＋sin(B－A)＝sin2A，即 2sinBcosA＝2sinAcosA，
因为 A≠，所以 cosA≠0，所以 sinB＝sinA，由正弦定理，得 b＝a，由余弦定理得 cosA＝＝≥＝，当且仅当
c＝b时等号成立，所以 A∈．
(4)(2014·江苏)若△ABC 的内角满足 sinA＋sinB＝2sinC，则 cosC的最小值是________．
答案　　解析　由sinA＋sinB＝2sinC，结合正弦定理得 a＋b＝2c．由余弦定理得 cosC＝＝＝≥＝，
故≤cosC<1，故 cosC的最小值为．
(5)设△ABC 的三边 a，b，c所对的角分别为 A，B，C，已知 a2＋2b2＝c2，则＝_____；tanB的最大值
为________．
答案　－3　　解析　由正弦定理可得＝·＝·，再结合余弦定理可得＝·＝··＝．由 a2＋2b2＝c2，得＝
＝－3．由已知条件及大边对大角可知 0＜A＜＜C＜π，从而由 A＋B＋C＝π可知 tanB＝－tan(A＋C)＝－
＝－＝，因为＜C＜π，所以＋(－tanC)≥2＝2(当且仅当 tanC＝－时取等号)，从而 tanB≤＝，即 tanB的最大
值为．
(6)在锐角△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c．若 a＝2bsinC，则 tanA＋tanB＋tanC的最小
值是(　　)
A．4　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．8　　　　　　　　D．6
解析：由a＝2bsinC得sinA＝2sinBsinC，∴sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC，即 tanB＋
tanC＝2tanBtanC． 又 三 角 形 中 的 三 角 恒 等 式 tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC， ∴ tanBtanC
＝，∴tanAtanBtanC＝tanA·，令 tanA－2＝t，得 tanAtanBtanC＝＝t＋＋4≥8，当且仅当 t＝， 即 t＝2，tan
A＝4 时，取等号．
【对点训练】
1．在不等边三角形 ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，其中 a为最大边，如果 sin2(B＋
C)<sin2B
＋sin2C，则角 A的取值范围为(　　)
A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．
2．已知△ABC 的三个内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，则角 A的取值范
围是(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
3．已知 a，b，c分别是△ABC 内角 A，B，C的对边，满足 cosAsinBsinC＋cosBsinAsinC＝2cosCsinAsin
B，则 C的最大值为________．
4．在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，若 b2＋c2＝2a2，则 cosA的最小值为________．
5．已知△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 cos2A＋cos2B＝2cos2C，则 cosC的最小值为(
)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－
6．在钝角△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，B为钝角，若 acosA＝bsinA，则 sinA＋sinC
的最大值为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．
7．在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 acosB－bcosA＝c，当 tan(A－B)取最大值时，
角B的值为________．
8．在△ABC 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，asinA＋bsinB＝csinC－asinB，则 sin2Atan2B
的最大值是__________．
9．在△ABC 中，若 sinC＝2cosAcosB，则 cos2A＋cos2B的最大值为________．
10．在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 3acos C＋b＝0，则 tan B的最大值是________．
11．(2016 江苏)在锐角三角形 中，若 ，则 的最小值是________．
12．在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若△ABC 为锐角三角形，且满足 b2－a2＝ac，则
－的取值范围是________．
13．在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin2A＋sin2B＝2sin2C，则＋＋的最小值为________．
考点二　三角形中与边或周长有关的最值(范围)
【例题选讲】
[例2](1)已知△ABC 中，角 A，B，C成等差数列，且△ABC 的面积为 1＋，则 AC 边的长的最小值是_
_______．
答案　2　解析　∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝3B，又 A＋B＋C＝π，∴B＝．设角 A，B，C所
对的边分别为 a，b，c，由 S△ABC＝acsinB＝1＋得 ac＝2(2＋)，由余弦定理及 a2＋c2≥2ac，得 b2≥(2－)ac，
即b2≥(2－)×2(2＋)，∴b≥2(当且仅当 a＝c时等号成立)，∴AC 边的长的最小值为 2．
(2)(2015·全国Ⅰ)在平面四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则 AB 的取值范围是______
__．
答案　(－，＋)　解析　通法：依题意作出四边形 ABCD，连结 BD．令 BD＝x，AB＝y，∠CDB＝
α，∠CBD＝β．在△BCD 中，由正弦定理得＝．由题意可知，∠ADC＝135°，则∠ADB＝135°－α．在
△ABD 中 ， 由 正 弦 定 理 得 ＝ ． 所 以 ＝ ， 即 y＝ ＝ ＝ ＝ ． 因 为 0°<β<75° ，α＋β＋75° ＝180° ， 所 以
30°<α<105°，当 α＝90°时，易得 y＝；当 α≠90°时，y＝＝．又 tan 30°＝，tan 105°＝tan(60°＋45°)＝＝－2
－，结合正切函数的性质知，∈(－2，)，且≠0，所以 y＝∈(－，)∪(，＋)．综上所述：y∈(－，＋)．
提速方法：画出四边形 ABCD，延长 CD，BA，探求出 AB 的取值范围．如图所示，延长 BA 与CD 相
交于点 E，过点 C作CF∥AD 交AB 于点 F，则 BF<AB<BE．在等腰三角形 CFB 中，∠FCB＝30°，CF＝
BC＝2，∴BF＝＝－．在等腰三角形 ECB 中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，BE＝CE，BC＝2，＝，∴BE
＝×＝＋．∴－<AB<＋．
(3)在△ABC 中，若 C＝2B，则的取值范围为________．
答案　(1，2)　解析　因为 A＋B＋C＝π，C＝2B，所以 A＝π－3B>0，所以 0<B<，所以<cosB<1．因
为＝＝＝2cosB，所以 1<2cosB<2，故1<<2．
(4) (2018·北京)若△ABC 的面积为(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B＝__________；的取值范围是_
_________．
答案　60°　(2，＋∞)　解析　由已知得(a2＋c2－b2)＝acsin B，所以＝sin B，由余弦定理得 cos B＝
sin B，所以 tan B＝，所以 B＝60°，又 C＞90°，B＝60°，所以 A<30°，且 A＋C＝120°，所以＝＝＝＋．
又A<30°，所以 0＜tan A<，即>，所以>＋＝2．
(5)在△ 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ，则
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