《2022年高考数学之解密解三角形命题点对点突破（全国通用）》专题十解三角形综合问题(解析版)

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专题十　解三角形综合问题

考点一　正、余弦定理与三角函数结合的问题

【方法总结】

解三角形与三角函数交汇问题一般步骤

【例题选讲】

[例1]已知函数 f(x)＝cos＋(sinx＋cosx)2．

(1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期；

(2)设△ABC 的三边 a，b，c所对的角分别为 A，B，C，若 a＝2，c＝，f＝，求 b的值．

解析　(1)f(x)＝cos 2x－sin 2x＋(1＋sin 2x)＝sin＋，

所以 f(x)的最大值为 1＋，最小正周期 T＝π．

(2)因为 f＝sin＋＝cos＋＝，

所以 cos＝0，因为 0<C<π，所以 C＝．

由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C，可得 b2－2b－3＝0，因为 b>0，所以 b＝3．

[例2]已知 f(x)＝cosxsin＋1．

(1)求f(x)在[0，π]上的单调递增区间；

(2)在△ABC 中，若角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，且 f(B)＝，sinAsinC＝sin2B，求 a－c的值．

解析　f(x)＝cos xsin＋1＝cos x＋1

＝sin 2x－×＋1＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋．

(1)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得 kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，又 x∈[0，π]，

∴f(x)在[0，π]上的单调递增区间是和．

(2)由f(B)＝sin＋＝，得 sin＝1．又 B是△ABC 的内角，∴2B－＝，得 B＝．

由sin Asin C＝sin2B及正弦定理可得 ac＝b2．在△ABC 中，由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B，

得ac＝(a－c)2＋2ac－ac，则 a－c＝0．

[例3]已知函数 f(x)＝sin2x－cos2x＋2sinxcosx(x∈R)．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 f(A)＝2，c＝5，cosB＝，求△ABC 中线 AD

的长．

解析　(1)f(x)＝－cos2x＋sin2x＝2sin．∴T＝＝π．∴函数 f(x)的最小正周期为 π．

(2)由(1)知f(x)＝2sin，∵在△ABC 中f(A)＝2，∴sin＝1，

∴2A－＝，∴A＝．又cos B＝且B∈(0，π)，∴sin B＝，

∴sin C＝sin(A＋B)＝×＋×＝，

在△ABC 中，由正弦定理＝，得＝，∴a＝7，∴BD＝．

在△ABD 中，由余弦定理得，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B＝52＋－2×5××＝，

因此△ABC 的中线 AD＝．

[例4]已知函数 f(x)＝cos2x＋sin(π－x)cos(π＋x)－．

(1)求函数 f(x)在[0，π]上的单调递减区间；

(2)在锐角△ABC 中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 f(A)＝－1，a＝2，bsinC＝asinA，

求△ABC 的面积．

解析　(1)f(x)＝cos2x－sinxcosx－＝－sin2x－＝－sin，

令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得 kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，又∵x∈[0，π]，

∴函数 f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和．

(2)由(1)知f(x)＝－sin，∴f(A)＝－sin＝－1，

∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A<，∴－<2A－<，∴2A－＝，即 A＝．

又∵bsin C＝asin A，∴bc＝a2＝4，∴S△ABC＝bcsin A＝．

[例5]已知 f(x)＝12sincosx－3，x∈．

(1)求f(x)的最大值、最小值；

(2)CD 为△ABC 的内角平分线，已知 AC＝f(x)max，BC＝f(x)min，CD＝2，求 C．

解析　(1)f(x)＝12sincos x－3＝12cos x－3

＝6sin xcos x＋6cos2x－3＝3sin 2x＋3cos 2x＝6sin，

∵f(x)在上是增函数，在上是减函数，又 f(0)＝3，f＝3．

∴f(x)max＝f＝6，f(x)min＝3．

(2)在△ADC 中，＝，在△BDC 中，＝，

∵sin∠ADC＝sin∠BDC，AC＝6，BC＝3，

∴AD＝2BD．在△BCD 中，BD2＝CD2＋BC2－2CD·BC·cos＝17－12cos，

在△ACD 中，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos ＝44－24cos，

又AD2＝4BD2，∴44－24cos＝68－48cos，∴cos＝，∵C∈(0，π)，∴C＝．

[例6]已知函数 f(x)＝sin2ωx－sin2，函数 f(x)的图象关于直线 x＝π对称．

(1)求函数 f(x)的最小正周期；

(2)在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 a＝1，f＝，求△ABC 面积的最大值．

解析　(1)f(x)＝－cos2ωx－＝cos－cos2ωx

＝－cos2ωx＋sin2ωx＝sin．

令2ωx－＝＋kπ，k∈Z，解得 x＝＋，k∈Z．∴f(x)的对称轴为 x＝＋，k∈Z．

令＋＝π，k∈Z，解得 ω＝，k∈Z．∵＜ω＜1，∴取 k＝1，ω＝，∴f(x)＝sin．

∴f(x)的最小正周期 T＝＝．

(2)∵f＝sin＝，∴sin＝．又 0<A<π，∴A＝．

由余弦定理得，cosA＝＝＝，

∴b2＋c2＝bc＋1≥2bc，当且仅当 b＝c时，等号成立．∴bc≤1．

∴S△ABC＝bcsinA＝bc≤，∴△ABC 面积的最大值是．

【对点训练】

1．已知函数 f(x)＝sin2x＋2cos2x－1，x∈R．

(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递减区间；

(2)在△ABC 中，A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 c＝，f(C)＝1，sinB＝2sinA，求 a，b的值．

1．解析　(1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，所以函数 f(x)的最小正周期 T＝＝π，

令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，

所以函数 f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．

(2)因为 f(C)＝2sin＝1，所以 C＝，所以()2＝a2＋b2－2abcos，a2＋b2－ab＝3，

又因为 sin B＝2sin A，所以 b＝2a，解得 a＝1，b＝2，所以 a，b的值分别为 1，2．

2．已知函数 f(x)＝cosx(cosx＋sinx)．

(1)求f(x)的最小值；

(2)在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，若 f(C)＝1，S△ABC＝，c＝，求△ABC 的周长．

2．解析　(1)f(x)＝cosx(cosx＋sinx)＝cos2x＋sinxcosx＝＋sin2x＝＋sin．

当sin＝－1时，f(x)取得最小值－．

(2)f(C)＝＋sin＝1，∴sin＝，

∵C∈(0，π)，2C＋∈，∴2C＋＝，∴C＝．

∵S△ABC＝absin C＝，∴ab＝3．又(a＋b)2－2abcos＝7＋2ab，

∴(a＋b)2＝16，即a＋b＝4，∴a＋b＋c＝4＋，故△ABC 的周长为 4＋．

3．已知函数 f(x)＝sin(2 018π－x)sin－cos2x＋1．

(1)求函数 f(x)的递增区间；

(2)若△ABC 的角 A，B，C所对的边为 a，b，c，角 A的平分线交 BC 于D，f(A)＝，AD＝BD＝2，求

cosC．

3．解析　解　(1)f(x)＝sin xcos x－cos2x＋1＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋1

＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋．

令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得 kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z．所以递增区间是(k∈Z)．

(2)f(A)＝⇒sin＝1，得到 2A－＝2kπ＋⇒A＝kπ＋，k∈Z，

由0<A<π 得到 A＝，所以∠BAD＝．

由正弦定理得＝⇒sin B＝，B＝或 B＝(舍去)，

所以 cosC＝－cos(A＋B)＝sinsin－coscos＝．

4．已知△ABC 的三个内角 A，B，C成等差数列，角 B所对的边 b＝，且函数 f(x)＝2sin2x＋2sinxcos

x－在 x＝A处取得最大值．

(1)求f(x)的值域及周期；

(2)求△ABC 的面积．

4．解析　(1)因为 A，B，C成等差数列，所以 2B＝A＋C，又 A＋B＋C＝π，所以 B＝，即 A＋C＝．

因为 f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx－＝(2sin2x－1)＋sin2x＝sin2x－cos2x＝2sin，

所以 T＝＝π．又因为 sin [∈－1，1]，所以 f(x)的值域为[－2，2]．

(2)因为 f(x)在x＝A处取得最大值，所以 sin＝1．

因为 0<A<π，所以－<2A－<π，故当 2A－＝时，f(x)取到最大值，所以 A＝π，所以 C＝．

由正弦定理，知＝⇒c＝．又因为 sinA＝sin＝，所以 S△ABC＝bcsinA＝．

5．如图，在△ABC 中，三个内角 B，A，C成等差数列，且 AC＝10，BC＝15．

(1)求△ABC 的面积；

(2)已知平面直角坐标系 xOy 中点 D(10，0)，若函数 f(x)＝Msin(ωx＋φ)M>0，ω>0，|φ|<的图象经过

A，C，D三点，且 A，D为f(x)的图象与 x轴相邻的两个交点，求 f(x)的解析式．

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