《2022年高考数学之解密解三角形命题点对点突破（全国通用）》专题七 三角形中的结构不良题型(原卷版)

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专题七　三角形中的结构不良题型
结构不良题型
2020 年新高考试卷中出现了结构不良试题，所谓结构不良，就是试题不是完整呈现，一般需要考生
从给出的多个条件中选出一个或两个补充完整进行解答，试题具有一定的开放性，不同的选择可能导致
不同的结论，难度与用时也会有所不同．此类题型的设置一定程度上让学生参与了命题，从传统解题向
解决问题的思维转变．
【例题选讲】
[例1](2020·新全国Ⅰ)在① ac＝，② csinA＝3，③ c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，
若问题中的三角形存在，求 c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 sinA＝sinB，C
＝，________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解析　方案一：选条件①．
由C＝和余弦定理得＝．由sinA＝sinB及正弦定理得 a＝b
．
于是＝，由此可得 b＝c．由① ac＝，解得 a＝，b＝c＝1．
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时 c＝1．
方案二：选条件②．
由C＝和余弦定理得＝，由 sin A＝sin B及正弦定理得 a＝b．
于是＝，由此可得 b＝c，B＝C＝，A＝，由② csin A＝3，所以 c＝b＝2，a＝6．
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时 c＝2．
方案三：选条件③．
由C＝和余弦定理得＝，由 sin A＝sin B及正弦定理得 a＝b
．
于是＝，由此可得 b＝c．由③ c＝b，与 b＝c矛盾，
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
[例2] (2020·北京)在△ABC 中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)a的值；
(2)sinC和△ABC 的面积．
条件①：c＝7，cosA＝－；条件②：cosA＝，cosB＝．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
解析　(从条件①②中任选一个即可)选条件①：c＝7，cos A＝－，且 a＋b＝11．
(1)在△ABC 中，由余弦定理，得 cosA＝＝＝－，解得 a＝8．
(2)∵cosA＝－，A∈(0，π)，∴sinA＝＝＝．
在△ABC 中，由正弦定理，得 sin C＝＝＝．
∵a＋b＝11，a＝8，∴b＝3，∴S△ABC＝absinC＝×8×3×＝6．
选条件②：cosA＝，cosB＝，且a＋b＝11．
(1)∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，cosA＝，cosB＝，
∴sinA＝＝＝，sinB＝＝＝．
在△ABC 中，由正弦定理，可得＝＝＝．又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5．
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