《2022年高考数学之解密解三角形命题点对点突破（全国通用）》专题七 三角形中的结构不良题型(解析版)

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专题七　三角形中的结构不良题型
结构不良题型
2020 年新高考试卷中出现了结构不良试题，所谓结构不良，就是试题不是完整呈现，一般需要考生
从给出的多个条件中选出一个或两个补充完整进行解答，试题具有一定的开放性，不同的选择可能导致
不同的结论，难度与用时也会有所不同．此类题型的设置一定程度上让学生参与了命题，从传统解题向
解决问题的思维转变．
【例题选讲】
[例1](2020·新全国Ⅰ)在① ac＝，② csinA＝3，③ c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，
若问题中的三角形存在，求 c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 sinA＝sinB，C
＝，________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解析　方案一：选条件①．
由C＝和余弦定理得＝．由sinA＝sinB及正弦定理得 a＝b
．
于是＝，由此可得 b＝c．由① ac＝，解得 a＝，b＝c＝1．
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时 c＝1．
方案二：选条件②．
由C＝和余弦定理得＝，由 sin A＝sin B及正弦定理得 a＝b．
于是＝，由此可得 b＝c，B＝C＝，A＝，由② csin A＝3，所以 c＝b＝2，a＝6．
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时 c＝2．
方案三：选条件③．
由C＝和余弦定理得＝，由 sin A＝sin B及正弦定理得 a＝b
．
于是＝，由此可得 b＝c．由③ c＝b，与 b＝c矛盾，
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
[例2] (2020·北京)在△ABC 中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)a的值；
(2)sinC和△ABC 的面积．
条件①：c＝7，cosA＝－；条件②：cosA＝，cosB＝．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
解析　(从条件①②中任选一个即可)选条件①：c＝7，cos A＝－，且 a＋b＝11．
(1)在△ABC 中，由余弦定理，得 cosA＝＝＝－，解得 a＝8．
(2)∵cosA＝－，A∈(0，π)，∴sinA＝＝＝．
在△ABC 中，由正弦定理，得 sin C＝＝＝．
∵a＋b＝11，a＝8，∴b＝3，∴S△ABC＝absinC＝×8×3×＝6．
选条件②：cosA＝，cosB＝，且a＋b＝11．
(1)∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，cosA＝，cosB＝，
∴sinA＝＝＝，sinB＝＝＝．
在△ABC 中，由正弦定理，可得＝＝＝．又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5．
(2)sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝＝．
∴S△ABC＝absinC＝×6×5×＝．
[例3]在：① a＝csinA－acosC，②(2a－b)sinA＋(2b－a)sinB＝2csinC这两个条件中任选一个，补充在
下列问题中，并解答．
已知△ABC 的角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，c＝，而且________．
(1)求角 C；
(2)求△ABC 周长的最大值．
解析　(1)选①：因为 a＝csinA－acosC，所以 sinA＝sinCsinA－sinAcosC，
因为 sin A≠0，所以 sin C－cos C＝1，即 sin＝，
因为 0<C<π，所以－<C－<，所以 C－＝，即 C＝．
选②：因为(2a－b)sin A＋(2b－a)sin B＝2csin C，所以(2a－b)a＋(2b－a)b＝2c2，
即a2＋b2－c2＝ab，所以 cos C＝＝，因为 0<C<π，所以 C＝．
(2)由(1)可知，C＝，在△ABC 中，由余弦定理得 a2＋b2－2abcos C＝3，即 a2＋b2－ab＝3，
所以(a＋b)2－3＝3ab≤，所以 a＋b≤2，当且仅当 a＝b时等号成立，
所以 a＋b＋c≤3，即△ABC 周长的最大值为 3．
【对点训练】
1．在△ABC 中，a，b，c分别为内角 A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tanA)．
(1)求角 C；
(2)若c＝2，D为BC 的中点，在下列两个条件中任选一个，求 AD 的长度．
条件①：△ABC 的面积 S＝4且B>A，条件②：cosB＝．
1．解析　(1)在△ABC 中，由余弦定理知 b2＋c2－a2＝2bccos A，
所以 2b2＝2bccos A(1－tan A)，所以 b＝c(cos A－sin A)．
又由正弦定理知＝，得 sin B＝sin C(cos A－sin A)，
所以 sin(A＋C)＝sin C(cos A－sin A)，即 sin Acos C＋cos Asin C＝sin Ccos A－sin Csin A，
所以 sin Acos C＝－sin Csin A．因为 sin A≠0，所以 cos C＝－sin C，所以 tan C＝－1．
又因为 0<C<π，所以 C＝．
(2)若选择条件①．△ABC 的面积 S＝4，且 B>A．因为 S＝4＝absin C＝absin ，所以 ab＝8．
由余弦定理知 c2＝(2)2＝40＝a2＋b2－2abcos ，所以 a2＋b2＋ab＝40，由
解得或因为 B>A，所以 b>a，所以所以 CD＝BD＝．
在△ACD 中，AD2＝CA2＋CD2－2CA·CD·cos C＝16＋2－2×4×cos ＝26，所以 AD＝．
若选择条件②，cos B＝．因为 cos B＝，所以 sin B＝．
所以 sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝．由正弦定理知，＝，
所以 a＝＝2．在△ABD 中，由余弦定理知 AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B，解得 AD＝．
2．在① 3c2＝16S＋3(b2－a2)，② 5bcos C＋4c＝5a，这两个条件中任选一个，补充在下面横
线处，然后解答问题．
在△ABC 中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，设△ABC 的面积为 S，已知________．
(1)求tanB的值；
(2)若S＝42，a＝10，求 b的值．
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
2．解析　选择条件①：(1)由题意得 8acsin B＝3(a2＋c2－b2)，
即4sinB＝3·，整理可得 3cosB－4sinB＝0．
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