《2022年高考数学之解密解三角形命题点对点突破（全国通用）》专题六 三角形中面积的计算问题(解析版)

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专题六　三角形中面积的计算问题
三角形中面积的计算问题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，此类问题一般是一问计
算角或边，另一问计算面积．对于计算角与边的一问参考专题 1，对于计算面积的一问一般用公式 S＝
absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．但要结合三角恒等变换并同时用正弦
定理、余弦定理和面积公式才能解决．
【方法总结】
三角形中面积计算问题的解题技巧
首先处理已知条件中的边角关系，得到两边及夹角，然后使用面积公式求解．对于条件中的边角关
系一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二
次式一般采用到余弦定理．若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案
要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”，然后进行代数式变形；
(2)若式子中含有 a，b，c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”，然后进行三角恒等变换；
(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”，然后进行代数式变形；
(4)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．
【例题选讲】
[例1]已知△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，a2－ab－2b2＝0．
(1)若B＝，求 A，C；
(2)若C＝，c＝14，求 S△ABC．
解析　(1)由已知 B＝，a2－ab－2b2＝0结合正弦定理化简整理得 2sin2A－sin A－1＝0，
于是 sinA＝1或sinA＝－(舍)．
因为 0<A<π，所以 A＝，又 A＋B＋C＝π，所以 C＝π－－＝．
(2)由题意及余弦定理可知 a2＋b2＋ab＝196，①
由a2－ab－2b2＝0得(a＋b)(a－2b)＝0，因为 a＋b>0，所以 a－2b＝0，即a＝2b，②
联立①②解得 b＝2，a＝4．所以 S△ABC＝absin C＝14．
[例2](2014·浙江)在△ABC 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c．已知 a≠b，c＝，cos2A－
cos2B＝sinAcosA－sinBcosB．
(1)求角 C的大小；
(2)若sinA＝，求△ABC 的面积．
解析　(1)由题意得，－＝sin2A－sin2B，
即sin2A－cos2A＝sin2B－cos2B，sin＝sin．由 a≠b，得 A≠B．
又A＋B∈(0，π)，得，2A－＋2B－＝π，即 A＋B＝，所以 C＝．
(2)由c＝，sinA＝，＝，得 a＝．由 a<c，得 A<C，从而 cosA＝，
故sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝，所以，△ABC 的面积为 S＝acsinB＝．
[例3](2017·全国Ⅲ)△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 sinA＋cosA＝0，a＝2，b＝
2．
(1)求c；
(2)设D为BC 边上一点，且 AD⊥AC，求△ABD 的面积．
解析　(1)由sinA＋cosA＝0及cosA≠0，得tanA＝－，又0<A<π，所以 A＝．
由余弦定理，得 28＝4＋c2－4c·cos ．即c2＋2c－24＝0，解得 c＝－6(舍去)，c＝4．
(2)由题设可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝．
故△ABD 与△ACD 面积的比值为＝1．又△ABC 的面积为×4×2sin∠BAC＝2，
所以△ABD 的面积为．
[例4]如图，在△ABC 中，已知点 D在BC 边上，满足 AD⊥AC，cos∠BAC＝－，AB＝3，BD＝．
(1)求AD 的长；
(2)求△ABC 的面积．
解析　(1)因为 AD⊥AC，cos∠BAC＝－，所以 sin∠BAC＝．
又sin∠BAC＝sin＝cos∠BAD＝，
在△ABD 中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD，即 AD2－8AD＋15＝0，
解得 AD＝5或AD＝3，由于 AB>AD，所以 AD＝3．
(2)在△ABD 中，＝，又由 cos∠BAD＝，得 sin∠BAD＝，所以 sin∠ADB＝，
则sin∠ADC＝sin(π－∠ADB)＝sin∠ADB＝．
因为∠ADB＝∠DAC＋∠C＝＋∠C，所以 cos∠C＝．
在Rt△ADC 中，cos∠C＝，则 tan∠C＝＝＝，所以 AC＝3．
则△ABC 的面积 S＝AB·AC·sin∠BAC＝×3×3×＝6．
[例5]已知△ABC 内接于半径为 R的圆，a，b，c分别是角 A，B，C的对边，且 2R(sin2B－sin2A)＝(b
－c)sinC，c＝3．
(1)求A；
(2)若AD 是BC 边上的中线，AD＝，求△ABC 的面积．
解析　(1)对于 2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sin C，
由正弦定理得，bsinB－asinA＝bsinC－csinC，即 b2－a2＝bc－c2，
所以 cosA＝＝．因为 0°<A<180°，所以 A＝60°．
(2)以AB，AC 为邻边作平行四边形 ABEC，连接 DE，易知 A，D，E三点共线．
在△ABE 中，∠ABE＝120°，AE＝2AD＝，由余弦定理得 AE2＝AB2＋BE2－2AB·BEcos120°，
即19＝9＋AC2－2×3×AC×，解得 AC＝2．故 S△ABC＝bcsin∠BAC＝．
【对点训练】
1．△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知(a＋2c)cosB＋bcosA＝0．
(1)求B；
(2)若b＝3，△ABC 的周长为 3＋2，求△ABC 的面积．
1．解析　(1)由已知及正弦定理得(sin A＋2sin C)cos B＋sin Bcos A＝0，
(sin Acos B＋sin Bcos A)＋2sin Ccos B＝0，
sin(A＋B)＋2sin Ccos B＝0，又sin(A＋B)＝sin C，且C∈(0，π)，sin C≠0，
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