《2022年高考数学之解密解三角形命题点对点突破（全国通用）》专题九三角形中的最值(范围)问题(原卷版)

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专题九　三角形中的最值(范围)问题

【方法总结】

三角形中最值(范围)问题的解题思路

任何最值(范围)问题，其本质都是函数问题，三角形中的范围最值问题也不例外．三角形中的范围

最值问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解．一般求最值用基本不等式，

求范围用函数．由于三角形中的最值(范围)问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数

问题的基本要求外，还有自己独特的解法．

要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，

转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身

范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．

考点一　三角形中与角或角的函数有关的最值(范围)

【例题选讲】

[例1](2020·浙江)在锐角△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c．已知 2bsinA－a＝0．

(1)求角 B的大小；

(2)求cosA＋cosB＋cosC的取值范围．

解析　(1)由正弦定理，得 2sinBsinA＝sinA，又在△ABC 中，sin A>0，

故sin B＝，由题意得 B＝．

(2)由A＋B＋C＝π，得C＝－A．由△ABC 是锐角三角形，得 A∈ ．

由cosC＝cos＝－cosA＋sinA，得

cosA＋cosB＋cosC＝sin A＋cos A＋＝sin＋∈．

故cosA＋cosB＋cosC的取值范围是．

[例2](2016·北京)在△ABC 中，a2＋c2＝b2＋ac．

(1)求B的大小；

(2)求cosA＋cosC的最大值．

解析　(1)由a2＋c2＝b2＋ac，得 a2＋c2－b2＝ac．

由余弦定理，得 cos B＝＝＝．又 0＜B＜π，所以 B＝．

(2)A＋C＝π－B＝π－＝，所以 C＝－A,0＜A＜．

所以 cos A＋cos C＝cos A＋cos＝cos A＋coscos A＋sin sin A

＝cos A－cos A＋sin A＝sin A＋cos A＝sin．

因为 0＜A＜，所以＜A＋＜π，

故当 A＋＝，即 A＝时，cos A＋cos C取得最大值 1．

[例3](2014·陕西)△ABC 的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c．

(1)若a，b，c成等差数列，证明 sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；

(2)若a，b，c成等比数列，求 cosB的最小值．

解析　(1)∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b．由正弦定理得 sinA＋sinC＝2sinB．

∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sinA＋sinC＝2sin(A＋C)．

(2)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac．由余弦定理得，cosB＝＝≥＝，

当且仅当 a＝c时等号成立．∴cosB的最小值为．

[例4]在△ABC 中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且满足(2c－a)cosB－bcosA＝0．

(1)若b＝7，a＋c＝13，求△ABC 的面积；

(2)求sin2A＋sin 的取值范围．

解析　(1)因为(2c－a)cosB－bcosA＝0，

由正弦定理得(2sinC－sinA)cosB－sinBcosA＝0，则2sinCcosB－sin(A＋B)＝0，

求得 cosB＝，B＝．由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accosB，

即49＝(a＋c)2－2ac－2accosB，

求得 ac＝40，所以△ABC 的面积 S＝acsinB＝10．

(2)sin2A＋sin＝sin2A＋sin＝sin2A＋sin＝－cos2A＋cosA＋1，A∈，

令u＝cosA∈，y＝－u2＋u＋1∈．

【对点训练】

1．在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且．

(1)求A的大小；

(2)求sinB＋sinC的最大值．

2．已知锐角△ABC 中，bsinB－asinA＝(b－c)sinC，其中 a、b、c分别为内角 A、B、C的对边．

(1)求角 A的大小；

(2)求cosC－sinB的取值范围．

3．(2016 山东)在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知．

(1)证明：a＋b＝2c；

(2) 求cosC的最小值．

4．(2015 湖南)设△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，a＝btanA，且 B为钝角．

(1)证明：B－A＝；

(2)求sinA＋sinC的取值范围．

考点二　三角形中与边或周长有关的最值(范围)

【例题选讲】

[例1]在△ABC 中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 b2＋c2－a2＝bc．

(1)求角 A的大小；

(2)若a＝，求 BC 边上的中线 AM 的最大值．

解析　(1)由b2＋c2－a2＝bc 及余弦定理，得 cos A＝＝＝，又 0<A<π，∴A＝．

(2)∵AM 是BC 边上的中线，∴BM＝CM＝，∴在△ABM 中，AM2＋－2AM··cos∠AMB＝c2，①

在△ACM 中，AM2＋－2AM··cos∠AMC＝b2，②

又∠AMB＝π－∠AMC，∴cos∠AMB＝－cos∠AMC，即 cos∠AMB＋cos∠AMC＝0，

则①＋②整理得 AM2＝－．又 a＝，A＝，∴b2＋c2－3＝bc≤，

∴b2＋c2≤6，∴AM2＝－≤，即 AM≤，∴BC 边上的中线 AM 的最大值为．

[例2] (2020·全国Ⅱ)△ABC 中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C．

(1)求A；

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