《2022年高考数学之解密解三角形命题点对点突破（全国通用）》专题二 三角形的三线两圆及面积问题(原卷版)

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专题二　三角形的三线两圆及面积问题
一．中线
中线定理：一条中线两侧所对边的平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的 2倍．
即：如图，在中， 为 中点，则 ．
证明　在 中， ，在 中， ．
．
另外已知两边及其夹角也可表述为： ．
证明　由，
⇒
，
．
二．角平分线
角平分线定理：如图，在 中， 是 的平分线，则 ．
证法 1　在 中， ，在 中， ， ．
证法 2　该结论可以由两三角形面积之比得证，即 ．
三．高
高的性质： 分别为 边 上的高，则
求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度．
四．外接圆
过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆．其圆心叫做三角形的外心．
外接圆半径的计算：R＝＝＝．
外接圆半径与三角形面积的关系：S△ABC＝＝(R为△ABC 外接圆半径)．
　　　　　
五．内切圆
与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆．其圆心叫做三角形的内心．
内切圆半径与三角形面积的关系：S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r为△ABC 内切圆半径)，并可由此计算 r．
考点一　三角形的三线两圆问题
【例题选讲】
[例1] (1)△ABC 中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则 BC 边上的高等于(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　B　解析　设AB＝a，则由 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB知7＝a2＋4－2a，即 a2－2a－3＝
0，∴a＝3(负值舍去)．∴BC 边上的高为 AB·sinB＝3×＝．
(2)在△ABC 中，若 AB＝4，AC＝7，BC 边的中线 AD＝，则 BC＝________．
答案　9　解析　如图所示，延长 AD 到E，使 DE＝AD，连接 BE，EC．因为 AD 是BC 边上的中线，
所以 AE 与BC 互相平分，所以四边形 ACEB 是平行四边形，所以 BE＝AC＝7．又 AB＝4，AE＝2AD＝7，
所 以 在 △ ABE 中 ， 由 余 弦 定 理 得 ， AE2＝49 ＝AB2＋BE2－2AB·BE·cos∠ABE ＝AB2＋AC2－
2AB·AC·cos∠ABE．在△ABC 中，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos(π－∠ABE)，∴49＋BC2＝
2(AB2＋AC2)＝2(16＋49)，∴BC2＝81，∴BC＝9．
(3)在△ABC 中，B＝120°，AB＝，A的角平分线 AD＝，则 AC＝________．
答案　　解析　如图，在△ABD 中，由正弦定理，得＝，∴sin∠ADB＝.
由题意知 0°<∠ADB<60°，∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝180°－45°－120°＝15°．∴∠BAC＝30°，C＝
30°，∴BC＝AB＝.在△ABC 中，由正弦定理，得＝，∴AC＝．
(4)在△ABC 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 tanC＝，a＝b＝，BC 边上的中点为 D，
则sin∠BAC＝________，AD＝________．
答案　　　解析　因为 tan C＝，所以 sin C＝，cos C＝，又 a＝b＝，所以 c2＝a2＋b2－2abcos C＝13
＋13－2×××＝16，所以 c＝4．由＝，得＝，解得 sin∠BAC＝．因为 BC 边上的中点为 D，所以 CD＝，
所以在△ACD 中，AD2＝b2＋2－2×b××cos C＝，所以 AD＝．
(5)已知△ABC 的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，BC 边上的中线长为 2，高线长为，且 btanA
＝(2c－b)tan B，则 bc 的值为________．
答案　8　解析　因为 btan A＝(2c－b)tan B，所以＝－1，所以 1＋＝，根据正弦定理，得 1＋＝，即
＝．因为 sin(A＋B)＝sin C≠0，sin B≠0，所以 cos A＝，所以 A＝．设 BC 边上的中线为 AM，则 AM＝2，
因为 M是BC 的中点，所以AM＝(AB＋AC)，即AM2＝(AB2＋AC2＋2AB·AC)，所以 c2＋b2＋bc＝32　①．
设BC 边上的高线为 AH，由 S△ABC＝AH·BC＝bc·sin A，得 bc＝，即 bc＝2a　②，根据余弦定理，得 a2＝c2
＋b2－bc　③，联立①②③得2＝32－2bc，解得 bc＝8或bc＝－16(舍去)．
(6)已知等腰三角形的底边长为 6，一腰长为 12，则它的内切圆面积为________．
答案　　解析　不妨设 a＝6，b＝c＝12，由余弦定理得 cos A＝＝＝，∴sinA＝＝．由(a＋b＋c)r＝
bcsin A，得r＝．∴S内切圆＝πr2＝．
(7)在△ABC 中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c．若△ABC 的面积为 S，且 a＝1，4S＝b2＋c2－
1，则△ABC 外接圆的面积为(　　)
A．4π　　　　　　　　B．2π　　　　　　　　C．π　　　　　　　　D．
答案　D　解析　由余弦定理得，b2＋c2－a2＝2bccos A，a＝1，所以 b2＋c2－1＝2bccosA，又 S＝
bcsinA
，
4S＝b2＋c2－1，所以 4×bcsinA＝2bccosA，即 sinA＝cosA，所以 A＝，由正弦定理得，＝2R，得
R＝，所以△ABC 外接圆的面积为．
(8)设△ABC 内切圆与外接圆的半径分别为 r与R，且 sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则 cos C＝
________；当 BC＝1时，△ABC 的面积为________．
答案　－　　解析　∵sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，∴由正弦定理得 a∶b∶c＝2∶3∶4．令 a＝
2t，b＝3t，c＝4t，则 cos C＝＝－，∴sin C＝．当 BC＝1时，AC＝，∴S△ABC＝×1××＝．
(9)在△ABC 中，D为边 AC 上一点，AB＝AC＝6，AD＝4，若△ABC 的外心恰在线段 BD 上，则 BC
＝_____．
答案　3　解析　解法 1　如图 1，设△ABC 的外心为 O，连结 AO，则 AO 是∠BAC 的平分线，所以
＝＝，所以AO＝AB＋BO＝AB＋BD＝AB＋(AD－AB)，即AO＝AB＋AD，两边同时点乘AB得AO·AB＝
(AB)2＋AB·AD，即18＝×36＋×6×4cos∠BAC，所以 cos∠BAC＝，则BC＝＝3．(说明：两边同时点乘AD
也是一样的)
　　　　 　　　　
图1　　　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　　　　图3
解法 2　如图 2，设∠BAC＝2α，外接圆的半径为 R，由S△ABO＋S△ADO＝S△ABD，得·6Rsinα＋·4Rsinα＝
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