《2022年高考数学之解密解三角形命题点对点突破（全国通用）》专题八多三角形问题(原卷版)

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专题八　多三角形问题

多三角形计算问题

求解多个三角形问题的关键及思路

求解多个三角形的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到多个三角形中，

利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换公式等建立已知和所求的关系．

具体解题思路如下：

(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；

(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．

做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，

要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．

【例题选讲】

[例1]如图，在△ABC 中，∠B＝，AB＝8，点 D在边 BC 上，且 CD＝2，cos∠ADC＝．

(1)求sin∠BAD；

(2)求BD，AC 的长．

解析　(1)在△ADC 中，∵cos∠ADC＝，∴sin∠ADC＝＝＝＝，

则sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADC·cos∠B－cos∠ADC·sin∠B＝×－×＝．

(2)在△ABD 中，由正弦定理得 BD＝＝＝3．

在△ABC 中，由余弦定理得 AC2＝AB2＋CB2－2AB·BCcos B＝82＋52－2×8×5×＝49，即 AC＝7．

[例2] (2020·江苏)在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c．已知 a＝3，c＝，B＝45°．

(1)求sinC的值；

(2)在边 BC 上取一点 D，使得 cos∠ADC＝－，求 tan∠DAC 的值．

解析　(1)在△ABC 中，因为 a＝3，c＝，B＝45°，由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accosB，

得b2＝9＋2－2×3×cos 45°＝5，所以 b＝．

在△ABC 中，由正弦定理＝，得＝，所以 sinC＝．

(2)在△ADC 中，因为 cos∠ADC＝－，所以∠ADC 为钝角．

而∠ADC＋C＋∠CAD＝180°，所以 C为锐角．故 cos C＝＝，则 tanC＝＝．

因为 cos∠ADC＝－，所以 sin∠ADC＝＝，所以 tan∠ADC＝＝－．

从而 tan∠DAC＝tan(180°－∠ADC－C)＝－tan(∠ADC＋C)

＝－＝－＝．

[例3] (2018·全国Ⅰ)在平面四边形 ABCD 中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．

(1)求cos∠ADB；

(2)若DC＝2，求 BC．

解析　(1)在△ABD 中，由正弦定理得＝，即＝，所以 sin∠ADB＝．

由题意知，∠ADB＜90°，所以 cos∠ADB＝＝＝．

(2)由题意及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝．在△BCD 中，由余弦定理得

BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25，所以 BC＝5．

[例4]如图，在平面四边形 ABCD 中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1．

(1)若AC＝，求△ABC 的面积；

(2)若∠ADC＝，CD＝4，求 sin∠CAD．

解析　(1)在△ABC 中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，

即5＝1＋BC2＋BC，解得 BC＝，所以△ABC 的面积 S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝×1××＝．

(2)设∠CAD＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得＝，即＝，①

在△ABC 中，∠BAC＝－θ，∠BCA＝π－－＝θ－，

由正弦定理得＝，即＝，②

①② 两式相除，得＝，即 4＝sin θ，

整理得 sin θ＝2cos θ．又因为 sin2θ＋cos2θ＝1，所以 sin θ＝，即 sin∠CAD＝．

[例5]如图，在△ABC 中，AB＝2，cos B＝，点 D在线段 BC 上．

(1)若∠ADC＝，求 AD 的长．

(2)若BD＝2DC，△ACD 的面积为，求的值．

解析　(1)在△ABC 中，∵cos B＝，∴sin B＝．∵∠ADC＝，∴∠ADB＝．

在△ABD 中，由正弦定理可得＝，∴AD＝．

(2)∵BD＝2DC，△ACD 的面积为，∴S△ABC＝3S△ACD，则 4＝×2×BC×，

∴BC＝6，DC＝2．∴由余弦定理得 AC＝＝4．

由正弦定理可得＝，∴sin∠BAD＝2sin∠ADB．

又∵＝，∴sin∠CAD＝sin∠ADC．∵sin∠ADB＝sin∠ADC，∴＝4．

【对点训练】

1．(2013·全国Ⅰ)如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC 内一点，∠BPC＝90°．

(1)若PB＝，求 PA；

(2)若∠APB＝150°，求 tan∠PBA．

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