《2022年高考数学之解密导数命题点对点突破（全国通用）》专题33 单变量不等式能成立之参变分离法(解析版)

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专题 33　单变量不等式能成立之参变分离法

【方法总结】

单变量不等式能成立之参变分离法

参变分离法是将不等式变形成一个一端是 f(a)，另一端是变量表达式 g(x)的不等式后，若 f(a)≥g(x)在

x∈D上能成立，则 f(a)≥g(x)min；若 f(a)≤g(x)在x∈D上能成立，则 f(a)≤g(x)max．特别地，经常将不等式变

形成一个一端是参数 a，另一端是变量表达式 g(x)的不等式后，若 a≥g(x)在x∈D上能成立，则 a≥g(x)min；

若a≤g(x)在x∈D上能成立，则 a≤g(x)max．

利用分离参数法来确定不等式 f(x，a)≥0(x∈D，a为实参数)能成立问题中参数取值范围的基本步骤：

(1)将参数与变量分离，化为 f1(a)≥f2(x)或f1(a)≤f2(x)的形式．

(2)求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值．

(3)解不等式 f1(a)≥f2(x)min 或f1(a)≤f2(x)max，得到 a的取值范围．

注意　“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即 f(x)≥g(a)对于 x∈D恒成立，应求

f(x)的最小值；若存在 x∈D，使得 f(x)≥g(a)成立，应求 f(x)的最大值．在具体问题中究竟是求最大值还是

最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求

最大值还是最小值．特别需要关注等号是否成立问题，以免细节出错．

【例题选讲】

[例1]　已知函数 f(x)＝3lnx－x2＋x，g(x)＝3x＋a．

(1)若f(x)与g(x)的图象相切，求 a的值；

(2)若∃x0>0，使 f(x0)>g(x0)成立，求参数 a的取值范围．

解析　(1)由题意得，f′(x)＝－x＋1，设切点为(x0，f(x0))，则 k＝f′(x0)＝－x0＋1＝3，

解得 x0＝1或x0＝－3(舍)，所以切点为，代入 g(x)＝3x＋a，得 a＝－．

(2)设h(x)＝3ln x－x2－2x，∃x0>0，使 f(x0)>g(x0)成立，等价于∃x>0，使 h(x)＝3ln x－x2－2x>a成立，

等价于 a<h(x)max(x>0)．

因为 h′(x)＝－x－2＝＝－，令得 0<x<1；令得 x>1．

所以函数 h(x)＝3ln x－x2－2x在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，

所以 h(x)max＝h(1)＝－，即 a<－，因此参数 a的取值范围为．

[例2]　已知函数 f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝．

(1)求函数 f(x)的单调区间；

(2)∃x∈(0，＋∞)，使不等式 f(x)－g(x)＋ex≤0 成立，求 a的取值范围．

解析　(1)因为 f′(x)＝a－ex，x∈R．

当a≤0 时，f′(x)<0，f(x)在R上单调递减；当 a>0 时，令 f′(x)＝0，得 x＝ln a．

由f′(x)>0，得 f(x)的单调递增区间为(－∞，ln a)；由 f′(x)<0，得 f(x)的单调递减区间为(ln a，＋∞)．

综上所述，当 a≤0 时，f(x)的单调递减区间为(－∞，＋∞)，无单调递增区间；

当a>0 时，f(x)的单调递增区间为(－∞，ln a)，单调递减区间为(ln a，＋∞)．

(2)因为∃x∈(0，＋∞)，使不等式 f(x)－g(x)＋ex≤0 成立，所以 ax≤，即 a≤．

设h(x)＝，则问题转化为 a≤max．由 h′(x)＝，令 h′(x)＝0，得 x＝．

当x∈(0，)时，h′(x)>0，当 x∈(，＋∞)时，h′(x)<0，

所以 h(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．

当x＝时，函数 h(x)有极大值，即最大值，为，所以 a≤．

故a的取值范围是．

[例3]　已知 a为实数，函数 f(x)＝alnx＋x2－4x．

(1)若x＝3是函数 f(x)的一个极值点，求实数 a的值；

(2)设g(x)＝(a－2)x，若存在 x0∈[，e]，使得 f(x0)≤g(x0)成立，求实数 a的取值范围．

解析　(1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2x－4＝．

∵x＝3是函数 f(x)的一个极值点，∴f′(3)＝0，解得 a＝－6．

经检验，当 a＝－6时，x＝3是函数 f(x)的一个极小值点，符合题意，故 a＝－6．

(2)由f(x0)≤g(x0)，得(x0－ln x0)a≥x－2x0，

记F(x)＝x－ln x(x>0)，则 F′(x)＝(x>0)，

∴当0<x<1 时，F′(x)<0，F(x)单调递减．当 x>1 时，F′(x)>0，F(x)单调递增．

∴F(x)>F(1)＝1>0，∴a≥．记 G(x)＝，x∈[，e]，

则G′(x)＝＝．

∵x∈[，e]，∴2－2ln x＝2(1－ln x)≥0，∴x－2ln x＋2>0，

∴当x∈时，G′(x)<0，G(x)单调递减；当 x∈(1，e)时，G′(x)>0，G(x)单调递增．

∴G(x)min＝G(1)＝－1，∴a≥G(x)min＝－1，故实数 a的取值范围为[－1，＋∞)．

[例4]　已知函数 f(x)＝ln(1＋x)－asinx，a∈R．

(1)若y＝f(x)在点(0，0)处的切线为 x－3y＝0，求 a的值；

(2)若存在 x∈[1，2]，使得 f(x)≥2a，求实数 a的取值范围．

解析　(1)f′(x)＝－acos x，则 f′(0)＝1－a＝，所以 a＝．

(2)将不等式转化为存在 x∈[1，2]，使得 a≤．

令函数 g(x)＝，则 g′(x)＝，

令函数 h(x)＝2＋sin x－(1＋x)cos xln(1＋x)，x∈[1，2]，

当x∈时，h(x)>0；当 x∈时，h(x)>2＋sin x－(1＋x)ln(1＋x)，

令函数 φ(x)＝2＋sin x－(1＋x)ln(1＋x)，则 φ′(x)＝cos x－ln(1＋x)－1<0，

故φ(x)≥φ＝3－ln>3－>0，则当 x∈时，h(x)>φ(x)>0，

故函数 g(x)在[1，2]上单调递增，g(x)max＝g(2)＝，

则当 a≤时，存在 x∈[1，2]，使得 f(x)≥2a．

所以，实数 a的取值范围是．

[例5]　已知函数 f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a(a∈R)，e为自然对数的底数．

(1)当a＝1时，求函数 f(x)的单调区间；

(2)① 若存在实数 x，满足 f(x)<0，求实数 a的取值范围；

② 若有且只有唯一整数 x0，满足 f(x0)<0，求实数 a的取值范围．

解析　(1)当a＝1时，f(x)＝ex(2x－1)－x＋1，f′(x)＝ex(2x＋1)－1，f′(0)＝0，f″(x)＝ex(2x＋3)，

由f″(x)＝0，得 x＝－，当 x<－时，f″(x)<0，f′(x)单调递减；当 x>－时，f″(x)>0，f′(x)单调递增．

且当 x<－时，f′(x)<0，即当 x<0 时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当 x>0 时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

所以 f(x)的单调减区间为(－∞，0)，单调增区间为(0，＋∞)．

(2)①由f(x)<0，得 ex(2x－1)<a(x－1)．

当x＝1时，不等式显然不成立；当 x>1 时，a>；当 x<1 时，a<．

记g(x)＝，g′(x)＝＝，

所以 g(x)在区间(－∞，0)和上为增函数，在(0,1)和上为减函数．

所以当 x>1 时，a>g＝4；当 x<1 时，a<g(0)＝1．

综上所述，实数 a的取值范围为(－∞，1)∪(4 ，＋∞)．

②由①知，当 a<1 时，x0∈(－∞，1)，由 f(x0)<0，得 g(x0)>a，

又g(x)在区间(－∞，0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，且 g(0)＝1>a，

所以 g(－1)≤a，即 a≥，所以≤a<1．

当a>4 时，x0∈(1，＋∞)，由 f(x0)<0，得 g(x0)<a，

又g(x)在区间上单调递减，在上单调递增，且 g＝4e<a，

所以解得 3e2<a≤．

综上所述，实数 a的取值范围为∪．

[例6]　已知函数 f(x)＝a(x－1)，g(x)＝(ax－1)·ex，a∈R．

(1)求证：存在唯一实数 a，使得直线 y＝f(x)和曲线 y＝g(x)相切；

(2)若不等式 f(x)＞g(x)有且只有两个整数解，求 a的取值范围．

解析　(1)f′(x)＝a，g′(x)＝(ax＋a－1)ex．

设直线 y＝f(x)和曲线 y＝g(x)的切点的坐标为(x0，y0)，则 y0＝a(x0－1)＝(ax0－1)ex0，

得a(x0ex0－x0＋1)＝ex0，①

又因为直线 y＝f(x)和曲线 y＝g(x)相切，所以 a＝g′(x0)＝(ax0＋a－1)ex0，

整理得 a(x0ex0＋ex0－1)＝ex0，②

结合①②得x0ex0－x0＋1＝x0ex0＋ex0－1，即 ex0＋x0－2＝0，令 h(x)＝ex＋x－2，

则h′(x)＝ex＋1＞0，所以 h(x)在R上单调递增．

又因为 h(0)＝－1＜0，h(1)＝e－1＞0，所以存在唯一实数 x0，使得 ex0＋x0－2＝0，且 x0∈(0，1)，

所以存在唯一实数 a，使①②两式成立，故存在唯一实数 a，使得直线 y＝f(x)与曲线 y＝g(x)相切．

(2)令f(x)＞g(x)，即 a(x－1)＞(ax－1)ex，所以 axex－ax＋a＜ex，所以 a＜1，

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