《2022年高考数学之解密导数命题点对点突破（全国通用）》专题32　单变量恒成立端点效应非单验悖(原卷版)

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专题 32　单变量恒成立之端点效应非单验悖
考点一　单变量恒成立端点效应非单验悖之含端点
【例题选讲】
[例1]　已知函数 f(x)＝e－x－ax(x∈R)．
(1)当a＝－1时，求函数 f(x)的最小值；
(2)若x≥0 时，f(－x)＋ln(x＋1)≥1 恒成立，求实数 a的取值范围．
思路　(1)先判断 f(x)的单调性，再求最小值，(2)端点值等于临界值，令 F(x)＝f(x－1)－ax＋x2＝(x－
1)ln(x－1)＋x2－ax(x≥2)，F(2)＝0，所以用“端点效应＋非单验悖”解决．
解析　(1)当a＝－1时，f(x)＝e－x＋x，则 f′(x)＝－＋1＝．令 f′(x)＝0，得 x＝0
当x＜0时，f′(x)＜0；当 x＞0时，f′(x)＞0．
所以函数 f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
所以当 x＝0时，函数 f(x)取得最小值，且最小值为 f(0)＝1.
(2)因为 x≥0 时，f(－x)＋ln(x＋1)≥1 恒成立，即 ex＋ax＋ln(x＋1)－1≥0.(*)
令g(x)＝ex＋ax＋ln(x＋1)－1，则
又g″(x)＝ex－≥0，当且仅当 x＝0时取等号，所以 g′(x)＝ex＋＋a在[0，＋∞)上单调递增．
①若a≥－2，则当且仅当 x＝0，a＝－2时取等号，
所以 g(x)在[0，＋∞)上单调递增，有 g(x)≥g(0)＝0，(*)式恒成立．
②若a＜－2，由于 g′(0)＝2＋a＜0，x→＋∞时，g′(x)→＋∞，
所以必存在唯一的 x0∈(0，＋∞)，使得 g′(x0)＝0，
当0＜x＜x0时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；当 x＞x0时，g′(x)＞0，g(x)单调递增．
所以当 x∈(0，x0)时，g(x)＜g(0)＝0，(*)式不恒成立．
综上所述，实数 a的取值范围是[－2，＋∞)．
悟通　考虑端点值，直入问题本质，抓住端点值展开讨论．分析端点值，明确函数图象走势．
[例2]　已知函数 f(x)＝ex－x2－ax－1，g(x)＝cosx＋x2－1．
(1)当a＝1时，求证：当 x≥0 时，f(x)≥0；
(2)若f(x)＋g(x)≥0 在[0，＋∞)上恒成立，求 a的取值范围．
解析　(1)当a＝1时，f(x)＝ex－x2－x－1，
∴f′(x)＝ex－x－1，令 u(x)＝ex－x－1，则 u′(x)＝ex－1≥0 在[0，＋∞)上恒成立，
故f′(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f′(x)≥f′(0)＝0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)≥f(0)＝0，从而原不等式得证．
(2)∵f(x)＋g(x)＝ex＋cos x－ax－2，
令h(x)＝ex＋cos x－ax－2，则 h′(x)＝ex－sin x－a，
令t(x)＝ex－sin x－a，则 t′(x)＝ex－cos x，∵ex≥1，－1≤cos x≤1，故 t′(x)≥0，
∴h′(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴h′(x)≥h′(0)＝1－a，
①当1－a≥0，即 a≤1 时，h′(x)≥0，故 h(x)在[0，＋∞)上单调递增，故 h(x)≥h(0)＝0，满足题意；
②当1－a<0，即 a>1 时，∵h′(0)<0，又 x→＋∞时，h′(x)→＋∞，
∴∃x0∈(0，＋∞)，使得 h′(x0)＝0，∴当x∈(0，x0)时，h′(x)<0，
∴h(x)在(0，x0)上单调递减，此时 h(x)<h(0)＝0，不符合题意．
综上所述，实数 a的取值范围是(－∞，1]．
[例3]　已知函数 f(x)＝axln(x＋1)＋x＋1(x>－1，a∈R)．
(1)若a＝，求函数 f(x)的单调区间；
(2)当x≥0 时，f(x)≤ex恒成立，求实数 a的取值范围．
解析：(1)a＝时，f(x)＝xln(x＋1)＋x＋1，
f′(x)＝＋1＝＋1．
易得 f′(x)在(－1，＋∞)上是增函数，且 f′＝0，
∴当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减函数；当 x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数．
∴函数 f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是．
(2)记g(x)＝f(x)－ex(x≥0)，则 g(0)＝0，g′(x)＝a＋1－ex．
记h(x)＝a＋1－ex(x≥0)，h′(x)＝a－ex，h′(0)＝2a－1．
①当a≤时，∵＋∈(0，2]，ex≥1，∴h′(x)≤0，h(x)在[0，＋∞)上是减函数，
则h(x)≤h(0)＝0，即 g′(x)≤0，∴g(x)在[0，＋∞)上是减函数，∴g(x)≤g(0)＝0恒成立，
即f(x)≤ex恒成立，满足题设；
②当a>时，h′(x)＝a－ex在[0，＋∞)上是减函数，
又h′(0)＝2a－1>0，当 x→＋∞时，h′(x)→－∞，则必存在 x0∈(0，＋∞)，使 h′(x0)＝0，
则当 x∈(0，x0)时，h′(x)>0，h(x)在(0，x0)上是增函数，此时 h(x)>h(0)＝0，
即当 x∈(0，x0)时，g′(x)>0，∴g(x)在(0，x0)上是增函数，∴g(x)>g(0)＝0，即 f(x)>ex，不符合题意．
综合①②，得 a≤，即实数 a的取值范围为．
【对点训练】
1．(2017·全国Ⅱ)设函数 f(x)＝(1－x2)ex．
(1)讨论 f(x)的单调性；
(2)当x≥0 时，f(x)≤ax＋1，求实数 a的取值范围．
2．已知点 P，Q(x，mx＋sin x)(m∈R)，O为坐标原点，设函数 f(x)＝OP·OQ．
(1)当m＝－2时，判断函数 f(x)在(－∞，0)上的单调性；
(2)当x≥0时，不等式 f(x)≥1恒成立，求实数 m的取值范围．
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