《2022年高考数学之解密导数命题点对点突破（全国通用）》专题27　单变量恒成立之参变分离后导函数零点可求型（原卷版)

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专题 27　单变量恒成立之参变分离后导函数零点可求型
【方法总结】
单变量恒成立之参变分离法
参变分离法是将不等式变形成一个一端是 f(a)，另一端是变量表达式 g(x)的不等式后，若 f(a)≥g(x)在
x∈D上恒成立，则 f(a)≥g(x)max；若 f(a)≤g(x)在x∈D上恒成立，则 f(a)≤g(x)min．特别地，经常将不等式变
形成一个一端是参数 a，另一端是变量表达式 g(x)的不等式后，若 a≥g(x)在x∈D上恒成立，则 a≥g(x)max；
若a≤g(x)在x∈D上恒成立，则 a≤g(x)min．
利用分离参数法来确定不等式 f(x，a)≥0(x∈D，a为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：
(1)将参数与变量分离，化为 f1(a)≥f2(x)或f1(a)≤f2(x)的形式．
(2)求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值．
(3)解不等式 f1(a)≥f2(x)max 或f1(a)≤f2(x)min，得到 a的取值范围．
【例题选讲】
[例1]　已知 f(x)＝xlnx，g(x)＝x3＋ax2－x＋2．
(1)求函数 f(x)的单调区间；
(2)若对任意 x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数 a的取值范围．
解析　(1)∵函数 f(x)＝xln x的定义域是(0，＋∞)，∴f′(x)＝ln x＋1．
令f′(x)＜0，得 ln x＋1＜0，解得 0＜x＜，∴f(x)的单调递减区间是．
令f′(x)＞0，得 ln x＋1＞0，解得 x＞，∴f(x)的单调递增区间是．
综上，f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是．
(2)∵g′(x)＝3x2＋2ax－1，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，∴2xlnx≤3x2＋2ax＋1恒成立．
∵x＞0，∴a≥ln x－x－在 x∈(0，＋∞)上恒成立．
设h(x)＝ln x－x－(x＞0)，则 h′(x)＝－＋＝－．
令h′(x)＝0，得 x1＝1，x2＝－(舍去)．
当x∈(0，1)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增；当 x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减．
∴当x＝1时，h(x)取得极大值，也是最大值，且 h(x)max＝h(1)＝－2，
∴若a≥h(x)在x∈(0，＋∞)上恒成立，则 a≥h(x)max＝－2，
故实数 a的取值范围是[－2，＋∞)．
[例2]　已知函数 f(x)＝lnx＋x2－(a＋1)x．
(1)若曲线 y＝f(x)在x＝1处的切线方程为 y＝－2，求 f(x)的单调区间；
(2)若x>0 时，<恒成立，求实数 a的取值范围．
解析：(1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)．由已知得 f′(x)＝＋ax－(a＋1)，则 f′(1)＝0．
而f(1)＝－－1，∴曲线 y＝f(x)在x＝1处的切线方程为 y＝－－1．∴－－1＝－2，解得 a＝2．
∴f(x)＝ln x＋x2－3x，f′(x)＝＋2x－3，由 f′(x)>0，得 0<x<或x>1，由 f′(x)<0，得<x<1，
∴f(x)的单调递增区间为和(1，＋∞)，单调递减区间为．
(2)由<，得＋x－(a＋1)<＋x－，即－<在区间(0，＋∞)上恒成立．
设h(x)＝－，则 h′(x)＝＋＝，由 h′(x)>0，得 0<x<，
因而 h(x)在 上单调递增，由 h′(x)<0，得 x>，因而 h(x)在 上单调递减．
∴h(x)的最大值为 h( )＝ ，
∴>，故 a>2 －1．从而实数 a的取值范围为 ．
[例3]　(2020·全国Ⅰ)已知函数 f(x)＝ex＋ax2－x．
(1)当a＝1时，讨论 f(x)的单调性；
(2)当x≥0 时，f(x)≥x3＋1，求 a的取值范围．
解析　(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，f′(x)＝ex＋2x－1，
由于 f″(x)＝ex＋2＞0，故 f′(x)单调递增，注意到 f′(0)＝0，
故当 x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
(2)由f(x)≥x3＋1，得 ex＋ax2－x≥x3＋1，其中 x≥0，
①当x＝0时，不等式为 1≥1，显然成立，符合题意；
②当x＞0时，分离参数 a得a≥－，
记g(x)＝－，g′(x)＝－，
令h(x)＝ex－x2－x－1(x≥0)，则 h′(x)＝ex－x－1，h″(x)＝ex－1≥0，
故h′(x)单调递增，h′(x)≥h′(0)＝0，故函数 h(x)单调递增，h(x)≥h(0)＝0，
由h(x)≥0 可得 ex－x2－x－1≥0 恒成立，
故当 x∈(0，2)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当 x∈(2，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．
因此，g(x)max＝g(2)＝，
综上可得，实数 a的取值范围是．
【对点精练】
1．已知函数 f(x)＝axex－(a＋1)(2x－1)．
(1)若a＝1，求函数 f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)当x＞0时，函数 f(x)≥0 恒成立，求实数 a的取值范围．
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