《2022年高考数学之解密数列命题点对点突破（全国通用）》专题15 分组转化法求和(解析版)

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专题 15　分组转化法求和

【基本知识】

分组转化法求和

有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个可求和的

数列，先分别求和，然后再合并．

1．若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为可求和的数列(等差或等比数列)，可采用分组求和法求{an}的前 n项

和．

2．通项公式为 an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是可求和的数列(等比数列或等差数列)，可采用分组

求和法求和．

考点一　选填题

【基本题型】

[例1] (1)若数列{an}的通项公式为 an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前 n项和为(　　)

A．2n＋n2－1　　　　B．2n＋1＋n2－1　　　　C．2n＋1＋n2－2　　　　D．2n＋n－2

答案　C　解析　Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n

－1)＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n＝＋2×－n＝2(2n－1)＋n2＋n－n＝2n＋1＋n2－2．

(2)已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前 20 项和为(　　)

A．1 121　　　　　　　　B．1 122　　　　　　　　C．1 123　　　　　　　　D．1 124

答案　C　解析　由题意可知，数列{a2n}是首项为 1，公比为 2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为

1，公差为 2的等差数列，故数列{an}的前 20 项和为＋10×1＋×2＝1 123．故选 C．

(3)若数列{an}的通项公式是 an＝(－1)n·(3n－2)，则 a1＋a2＋…＋a12＝(　　)

A．18　　　　　　　　B．15　　　　　　　　C．－18　　　　　　　　D．－15

答案　A　解析　记bn＝3n－2，则数列{bn}是以 1为首项，3为公差的等差数列，所以 a1＋a2＋…＋

a11＋a12＝(－b1)＋b2＋…＋(－b11)＋b12＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b12－b11)＝6×3＝18．

(4)已知数列{an}的通项公式为 an＝log(n＋1)(n＋2)(n∈N*)，我们把使乘积 a1·a2·a3·…·an为整数的 n叫做

“优数”，则在(0，2 018]内的所有“优数”的和为(　　)

A．1 024　　　　　　　　B．2 012　　　　　　　　C．2 026　　　　　　　　D．2 036

答案　C　解析　a1·a2·a3·…·an＝log23·log34·log45·…·log(n＋1)(n＋2)＝log2(n＋2)＝k，k∈Z，令0<n＝2k－

2≤2 018，则 2<2k≤2 020，1<k≤10，所有“优数”之和为(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝－18＝211－22＝2

026．故选 C．

【对点精练】

1．已知数列{an}的通项公式是 an＝2n－3n，则其前 20 项和为(　　)

A．380－　　　　B．400－　　　　C．420－　　　　D．440－

1．答案　C　解析　令数列{an}的前 n项和为 Sn，则 S20＝a1＋a2＋…＋a20＝2(1＋2＋…＋20)－

3＝2×－3×＝420－．

2．已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，Sn是数列{an}的前 n项和，则 S2 020＝(　　)

A．22 020－1　　　　B．3×21 010－3　　　　C．3×21 010－1　　　　D．3×22 020－2

2．答案　B　解析　依题意得 an·an＋1＝2n，an＋1·an＋2＝2n＋1，于是有＝2，即＝2，数列 a1，a3，

a5，…，a2n－1，…是以 a1＝1为首项、2为公比的等比数列；数列 a2，a4，a6，…，a2n，…是以 a2＝2为

首项、2为公比的等比数列，于是有 S2 020＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 019)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 020)＝＋＝3×21

010－3，故选 B．

3．已知函数 f(n)＝且 an＝f(n)＋f(n＋1)，则 a1＋a2＋a3＋…＋a100 等于(　　)

A．0　　　　　　　　B．100　　　　　　　　C．－100　　　　　　　　D．10 200

3．答案　B　解析　由题意，得 a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002

－1002＋1012＝(12－22)＋(32－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)＋(1012－1002)＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)

＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－50×101＋50×103

＝100．故选 B．

4．已知函数 f(n)＝n2cos(nπ)，且 an＝f(n)＋f(n＋1)，则 a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________．

4．答案　－100　解析　a1＋a2＋…＋a100＝[f(1)＋f(2)]＋[f(2)＋f(3)]＋…＋[f(99)＋f(100)]＋[f(100)＋f(101)]

＝2[f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)]－f(1)＋f(101)＝2(－11＋22－32＋42＋…－992＋1002)＋1－1012

＝2[(22－1)＋(42－32)＋…＋(1002－992)]＋1－1012＝2(3＋7＋11＋…＋199)＋1－1012

＝2××50＋1－1012＝－100．

5．已知公比不为 1的等比数列{an}的前 5项积为 243，且 2a3为3a2和a4的等差中项．若数列{bn}满足 bn

＝log3an＋2(n∈N*)，则数列{an＋bn}的前 n项和 Sn＝________．

5．答案　＋　解析　由前 5项积为 243 得a3＝3．设等比数列{an}的公比为 q(q≠1)，由 2a3

为3a2和a4的等差中项，得 3×＋3q＝4×3，由公比不为 1，解得 q＝3，所以 an＝3n－2，故 bn＝log3an＋2＝

n，所以 an＋bn＝3n－2＋n，数列{an＋bn}的前 n项和 Sn＝3－1＋30＋31＋32＋…＋3n－2＋1＋2＋3＋…＋n＝

＋＝＋．

6．1＋＋1＋＋＋…＋的值为(　　)

A．18＋　　　　　　B．20＋　　　　　　C．22＋　　　　　　D．18＋

6．答案　B　解析　设an＝1＋＋＋…＋＝＝2．则原式＝a1＋a2＋…＋a11＝

2＋2＋…＋2＝2＝2＝2＝2＝20＋．

考点二　解答题

1.等差(等比)＋等比(等差)模型

【基本题型】

[例2]　已知数列{an}为等差数列，其中 a5＝3a2，a2＋a3＝8．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)数列{bn}中，b1＝1，b2＝2，从数列{an}中取出第 bn项记为 cn，若{cn}是等比数列，求{bn}的前 n项

和．

解析　(1)设等差数列{an}的公差为 d，依题意有解得 a1＝1，d＝2，

从而{an}的通项公式为 an＝2n－1，n∈N*．

(2)c1＝ab1＝a1＝1，c2＝ab2＝a2＝3，从而等比数列{cn}的公比为 3，因此 cn＝1×3n－1＝3n－1．

另一方面，cn＝abn＝2bn－1，所以 2bn－1＝3n－1，因此 bn＝．

记{bn}的前 n项和为 Sn，则 Sn＝＝．

[例3]　已知等差数列{an}满足 a5＝9，a2＋a6＝14．

(1)求{an}的通项公式；

(2)若bn＝an＋qan(q＞0)，求数列{bn}的前 n项和 Sn．

解析　(1)设数列{an}的首项为 a1，公差为 d，则由 a5＝9，a2＋a6 ＝14 得解得

所以{an}的通项公式 an＝2n－1．

(2)由an＝2n－1得bn＝2n－1＋q2n－1．

当q＞0且q≠1时，Sn＝[1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)]＋(q1＋q3＋q5＋q7＋…＋q2n－1)＝n2＋；

当q＝1时，bn＝2n，则 Sn＝n(n＋1)．

所以数列{bn}的前 n项和 Sn＝

[例4]　已知递增等比数列{an}的前三项之积为 8，且这三项分别加上 1，2，2后又成等差数列．

(1)求等比数列{an}的通项公式；

(2)记bn＝an＋2n，求数列{bn}的前 n项和 Tn．

解析　(1)设等比数列前三项分别为 a1，a2，a3，公比为 q，则 a1＋1，a2＋2，a3＋2成等差数列．

依题意得即

解得或(舍去)．∴数列{an}的通项公式为 an＝2n－1．

(2)由bn＝an＋2n，得 bn＝2n－1＋2n，

∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(20＋21＋22＋…＋2n－1)＋2×(1＋2＋3＋…＋n)

＝＋2×＝2n＋n2＋n－1．

[例5]　设{an}是公比大于 1的等比数列，Sn为其前 n项和，已知 S3＝7，a1＋3，3a2，a3＋4构成等差

数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝an＋ln an，求数列{bn}的前 n项和 Tn．

解析　(1)设数列{an}的公比为 q(q>1)．由已知，得

即由 q>1，解得故数列{an}的通项公式为 an＝2n－1．

(2)由(1)得bn＝2n－1＋(n－1)ln 2，

所以 Tn＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]ln 2＝＋ln 2＝2n－1＋ln 2．

[例6]　已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，等比数列{bn}的前 n项和为 Tn．若 a1＝b1＝3，a4＝b2，S4

－T2＝12．

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；

(2)求数列{an＋bn}的前 n项和．

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