《2022年高考数学之解密数列命题点对点突破（全国通用）》专题22 数列中的数学文化问题(解析版)

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专题 22　数列中的数学文化问题

纵观近几年高考，以数学文化为背景的数列问题，层出不穷，让人耳目一新，同时它也使考生们受

困于背景陌生，阅读受阻，本专题通过对典型考题的分析，让考生提高审题能力，增加对数学文化的认

识，进而加深对数学文化的理解，提升数学核心素养．

【基本方法】

数列与数学文化解题 3步骤

读懂题意会脱去数学文化的背景，读懂题意

构建模型由题意，构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型

求解模型利用所学知识求解数列的相关信息，如求指定项、通项公式或前 n项和的公式

考点一　等差数列型

【基本题型】

[例1](1)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得

与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5钱，甲、乙两人所得与丙、

丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？ ”(“钱”是古

代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为(　　)

A．钱　　　　　　　　B．钱　　　　　　　　C．钱　　　　　　　D．钱

答案　D　解析　设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，依题意有解得即甲得钱，故选 D．

(2)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把 100 个面包分给 5

个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小的一份为(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

答案　A　解析　由100 个面包分给 5个人，每个人所得成等差数列，可知中间一人得 20 块面包，

设较大的两份为 20＋d

，

20＋2d，较小的两份为 20－d

，

20－2d，由已知条件可得(20＋20＋d＋20＋2d)＝

20－d＋20－2d，解得 d＝，所以最小的一份为 20－2d＝20－2×＝．

(3)(多选)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益

相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相

邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为

一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列选项正确的有(　　)

A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺　　　　　B．春分和秋分两个节气的晷长相同

C．立冬的晷长为一丈五寸　　　　　　　　　　　　　D．立春的晷长比立秋的晷长短

答案　ABC　解析　由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{an}，其中 a1＝15 寸，a13＝135 寸，

公差为 d寸，则 135＝15＋12d，解得 d＝10 寸，同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn}，首项 b1

＝135，末项 b13＝15，公差 d＝－10(单位都为寸)．故 A正确；∵春分的晷长为 b7，∴b7＝b1＋6d＝135－60

＝75，∵秋分的晷长为 a7，∴a7＝a1＋6d＝15＋60＝75，故 B正确；∵立冬的晷长为 a10，∴a10＝a1＋9d＝15

＋90＝105，即立冬的晷长为一丈五寸，故 C正确；∵立春的晷长，立秋的晷长分别为 b4，a4，∴a4＝a1＋

3d＝15＋30＝45，b4＝b1＋3d＝135－30＝105，∴b4>a4，故 D错误．故选 A、B、C．

(4)《张丘建算经》卷上第 22 题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三

丈．”其意思为今有一女子擅长织布，且从第 2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织 5尺布，

现在一个月(按30 天计)共织 390 尺布．则该女子最后一天织布的尺数为(　　)

A．18　　　　　　　　B．20　　　　　　　　C．21　　　　　　　　D．25

答案　C　解析　依题意得，该女子每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{an}，其

中a1＝5，前 30 项和为 390，于是有＝390，解得 a30＝21，即该女子最后一天织 21 尺布．

(5)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石

板(称为天心石)，环绕天心石砌 9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9块．下一层的第一环比

上一层的最后一环多 9块，向外每环依次也增加 9块．已知每层环数相同，且下层比中层多 729 块，则三

层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)

A．3 699 块　　　　　B．3 474 块　　　　　C．3 402 块　　　　　D．3 339 块

答案　C　解析　由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为

{an}，易知其首项 a1＝9，公差 d＝9，所以 an＝a1＋(n－1)d＝9n．设数列{an}的前 n项和为 Sn，由等差数

列的性质知 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列，所以 2(S2n－Sn)＝Sn＋S3n－S2n，所以(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝

S2n－2Sn＝－2×＝9n2＝729，得 n＝9，所以三层共有扇面形石板的块数为 S3n＝＝＝3 402，故选 C．

(6)(多选)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文

化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，是中国传

统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前 10 项依次是

0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是(　　)

A．此数列的第 20 项是 200　　　　　　　　　　B．此数列的第 19 项是 200

C．此数列偶数项的通项公式为 a2n＝2n2　　　　　D．此数列的前 n项和为 Sn＝n(n－1)

答案　AC　解析　观察此数列，偶数项通项公式为 a2n＝2n2，奇数项是后一项减去后一项的项数，

a2n－1＝a2n－2n，由此可得 a20＝2×102＝200，A正确，C正确；a19＝a20－20＝180，B错误；Sn＝n(n－1)＝

n2－n是一个等差数列的前 n项和，而题中数列不是等差数列，不可能有 Sn＝n(n－1)，D错误．故选

A、C．

【对点精练】

1．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列．上面 4节的

容

积共为 3升，下面 3节的容积共4升，则第 5节的容积为________升．

1．答案　　解析　设该数列{an}的首项为 a1，公差为 d，依题意即

解得则 a5＝a1＋4d＝＋4×＝．

2．“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问

题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要

将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”([注]六升六：6.6 升，次第盛：盛米容积依次

相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为(　　)

A．3.4 升　　　　　　B．2.4 升　　　　　C．2.3 升　　　　　　D．3.6 升

2．答案　A　解析　设从下至上各节容积分别为 a1，a2，…，a9为等差数列，公差 d，则由题意可知，

故解得，d＝－0．2，a1＝2．4，所以中间节 a4＋a5＝1．8＋1．6＝3．4．故选 A．

3．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852 年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知

数”问

题的解法传至欧洲．1874 年，英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得到的关于同余式解法

的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，

现有这样一个整除问题：将1至2 020 这2 020 个数中，能被 3除余 1且被7除余 1的数按从小到大的

顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列共有(　　)

A．98 项　　　　　　　　B．97 项　　　　　　　　C．96 项　　　　　　　　D．95 项

3．答案　B　解析　能被 3除余 1且被 7除余 1的数就只能是被 21 除余 1的数，故 an＝21n－20，由 1≤an

≤2020 得1≤n≤97，又 n∈N＋，故此数列共有 97 项．

4．一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二

十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？

即一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为 a，当a∈[2，2 019]时，符合条件

的a共有________个．

4．答案　135　解析　法一：由题设 a＝3m＋2＝5n＋3，m，n∈N，则 3m＝5n＋1，m，n∈N，当 m＝5k

时，n不存在；当 m＝5k＋1时，n不存在；当 m＝5k＋2时，n＝3k＋1，满足题意；当 m＝5k＋3时，

n不存在；当 m＝5k＋4时，n不存在，其中 k∈N．故 2≤a＝15k＋8≤2 019，解得－≤k≤，则 k＝

0，1，2，…，134，共 135 个．即符合条件的 a共有 135 个，故答案为 135．

法二：一个整数除以三余二，这个整数可以为

2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，…，一个整数除以五余三，这个整数可以为

3，8，13，18，23，28，33，38，…，则同时除以三余二、除以五余三的整数为 8，23，38，…，构

成首项为 8，公差为 15 的等差数列，通项公式为 an＝8＋15(n－1)＝15n－7，

5．我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将

第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：“996 斤棉花，分别赠送给8个子女做旅

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