《2022年新高考地区名校地市高三数学一模好题分类汇编》专题18 圆锥曲线解答题（解析版）

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专题 18 圆锥曲线解答题

一、解答题

1．（2022·江苏海门·高三期末）在平面直角坐标系中，设双曲线

的右准线与其两条渐近线的交点分别为、，且

．

(1)求双曲线的方程；

(2)设动直线与双曲线相交于点、，若，求证：存在定圆与直线相切，

并求该定圆的方程．

【答案】(1) ；

(2)证明见解析，定圆方程为 .

【解析】

【分析】

（1）由二倍角的正切公式可求得，可得出，利用双曲线的右准线方程可求

得的值，可得出的值，由此可得出双曲线的方程；

（2）分析可知直线、的斜率都存在，可设直线直线的方程为，

设点，将直线的方程与双曲线的方程联立，求出，可得出的值，

利用等面积法可求得原点到直线的距离，即可得出结论.

(1)

解：设渐近线的倾斜角为，则，

由已知可得，整理可得，

因为，解得，则，所以，，

双曲线的右准线方程为，可得，，

故双曲线的方程为 .

(2)

解：若直线、中有一条直线的斜率不存在时，

则直线、分别与两坐标轴重合，则这两条直线中有一条直线不与双曲线相交，不

合乎题意；

若直线、的斜率都存在时，可设直线的方程为，设点、

，

联立可得，所以，，，

所以，，，

设点到直线的距离为，则

，

综上，存在定圆与直线相切，该定圆的方程为．

【点睛】

方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

2．（2022·江苏扬州·高三期末）已知抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点 F到准线的距离为 2．

(1)求抛物线的方程；

(2)过点 P（1，1）作两条动直线 l1，l2分别交抛物线于点 A，B，C，D

．

设以 AB 为直径的

圆和以 CD 为直径的圆的公共弦所在直线为 m，试判断直线 m是否经过定点，并说明理由．

【答案】(1)y2＝4x；

(2)直线 m恒过定点(，)，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）由题可得 p＝2，即求；

（2）利用韦达定理法及条件可求以 AB 为直径的圆和以 CD 为直径的圆的方程，然后可得

公共弦所在直线，进而即得.

(1)

由题意得该抛物线焦点到准线的距离为－(－)＝p＝2，

所以该抛物线的方程为 y2＝4x．

(2)

① 当直线 l1， l2的斜率都存在时，设直线 l1：，直线 l2：y－1＝k2（x－1），

由，消去 y得，显然，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝，x1x2＝，

，，

则以 AB 为直径的圆的方程为：，

，

即＋＋＝0，

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