《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第3讲 函数的性质（解析版）

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第3讲 函数的性质
方法总结：
1.函数对称性常考结论
（1）函数 图象本身的对称性.
若 ，则 具有对称性.
若 ，则 具有周期性.
（2） 图象关于直线 对称.
推论 1： 的图象关于直线 对称.
推论 2： 的图象关于直线 对称.
推论 的图象关于直线 对称.
（3） 的图象关于点 对称.
推论 1： 的图象关于点 对称.
推论 的图象关于点 对称.
推论 的图象关于点 对称.
（4）两个函数的图象对称性
① 与 图象关于 轴对称.
② 与 图象关于原点对称.
③ 函数 与 图象关于 轴对称.
④ 函数 与其反函数 图象关于直线 对称.
⑤ 函数 与 图象关于直线 对称.
推论 1：函数 与 图象关于直线 对称.
推论 2：函数 与 图象关于直线 对称.
推论 3：函数 与 图象关于直线 对称.
2.函数周期性常考结论
（1）若 ，则 .
（2）若 ，则 .
（3）若 ，则 .
（4）若 ，则 .
（5）若 ，则 .
（6）若 ，则 .
3.函数的对称性与周期性之间的联系
结论 1：两线对称型：如果定义在 上的函数 有两条对称轴 ， ，即 ，
且.，那么 是周期函数，其中一个周期 .
结 论 2：两点对称型：如果函数同时关于两点 ， 成中心对称，即
和 ，那么 是周期函数，其中一个周期
.
结论 3：线一点对称型：如果函数 的图象关于点 成中心对称，且关于直线
成轴对称，那么 是周期函数，其中一个周期 .
以上 3个结论可以用三角函数去理解和记忆.
推论 1：如果偶函数 的图象关于直线 对称，那么 是周期函数，其中一个周期
.
推 论 2： 如 果 偶 函数 的 图 象 关 于 点 对 称 ， 那 么 是周 期 函 数 ， 其 中 一个 周 期
.推论 3：如果奇函数 的图象关于直线 对称，那么 是周期函数，其中一个
周期 .
推 论 4： 如 果 奇 函数 关 于 点 成 中 心 对 称 ， 那 么 是周 期 函 数 ， 其 中 一个 周 期
.
类型一：单调性
例1．设函数 为定义在 上的函数，对 都有： ， ；又函数
对 ， ， ，有 成立，设 ， ， ，则
下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
∵ ， ，
∴ ，
又∵对 ， ， ，有 成立，
∴函数 为偶函数、周期为 2，在 上单调递增，
所以 ， ，
因为 ，其中 ，所以 .
由函数 在 上单调递增，可知 ，
故选：B.
例2．函数 y＝f（x）在区间[0，2]上单调递增，且函数 f（x＋2）是偶函数，则下列结论成立的是（ ）
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