《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第5讲 函数的切线问题（原卷版）

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第5讲 函数的切线问题
方法总结：
1、求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线，在求切线时可考虑先求出切线的斜率（切点导数）
与切点，在利用点斜式写出直线方程
2、若函数的导函数可求，则求切线方程的核心要素为切点 的横坐标 ，因为 可“一点两代”，代入
到原函数，即可得到切点的纵坐标 ，代入到导函数中可得到切线的斜率 ,从而一点一斜
率，切线即可求。所以在解切线问题时一定要盯住切点横坐标，千方百计的把它求解出来。
3、求切线的问题主要分为两大类，一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求
出切点与斜率即可，另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标 ,再考虑利用条件解出核心要素 .
4、在解析几何中也学习了求切线的方法，即先设出切线方程，再与二次方程联立利用 求出参数值进
而解出切线方程。解析几何中的曲线与函数同在坐标系下，所以两个方法可以互通。若某函数的图像为圆
锥曲线，二次曲线的一部分，则在求切线时可用解析的方法求解。若圆锥曲线可用函数解析式表示，像焦
点在 轴的抛物线，可看作 关于 的函数，则在求切线时可利用导数进行快速求解.
5. 导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，
同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）一条倾斜角为 的直线与执物线 交于不同的 两点，设弦
的中点为 过 作平行于 轴的直线交抛物线于点 ，则以 为切点的抛物线的切线的斜率为
（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022·全国·高三专题练习）若经过点 P(2,8)作曲线 的切线，则切线方程为（ ）
A．B．
C． 或 D． 或
例3．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，直线 是曲线 的切线，则
的最大值是（ ）
A．B．C．D．
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线 在 ， ，两点处的切线分别与曲线
相切于 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．D．
例5．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））若函数 （ 为常数）存
在两条均过原点的切线，则实数 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的
切线相同，则 （）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
例7．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数 存在垂直于 轴的切线，又
，且有 ，则 的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
例8．（2022·全国·高三专题练习）若曲线 在 ， 两点处的切线互相
垂直，则 的最小值为（ ）
A．B．C．D．
过关练习：
1．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（文））若过点 可以作曲线 且 的两条
切线，则（ ）
A．B．
C．D． 与 的大小关系与 有关
2．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））已知函数 ，有下列结论：
① 在 上都是增函数；
② 若 ，则 ；
③ 若 ，则 ；
④ 若 ，则曲线 上不存在相异两点 M，N处的切线互相平行．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．③ C．③④ D．②③④
3．（2022·江西赣州·高三期末（理））曲线 在 处的切线与坐标轴围成的面积为（）
A．B．C．D．1
4．（2022·安徽黄山·一模（理））已知 ，曲线 在不同的三点 ，
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