《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第6讲 函数的单调性问题（解析版）

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第6讲 函数的单调性问题
方法总结：
1、导数解单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间。
即确定定义域→求出导函数→令 解不等式→得到递增区间后取定义域的补集（减区间）→单调
性列出表格
2、求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对 的限制有时会简化含参不等式的求解
3、求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等
式
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若函数 在区间
上是单调减函数，则 的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由题意可知在 上有 恒成立，即可得关于 的不等式组，由此可得相应可行域，结合
的几何含义，即可求其最小值.
【详解】
由题意知：在 上， 恒成立，
∴ ，即由不等式组可得如下可行域，
∴ 为可行域内的点到原点的距离的平方，其最小值为 O到 距离的平方，
故 ，
故选：C
【点睛】
关键点点睛：由函数在区间内单调递减知其导函数在该区间内恒小于等于 0，得到关于 的不等式组，结
合目标式，应用线性规划思想求最小值.
例2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 ，函数 的
图象过定点 ，对于任意 ，有 ，则实数 的范围为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
由图象过定点可得 ，设 ，结合已知条件可得 在 递增，求 的导数，
令 ，由二次函数的性质可得 ，从而可求出实数 的范围.
【详解】
解：因为 的图象过定点 ，所以 ，解得 ，
所以 ，因为对于任意 ，
有 ，则 ，设 ，
即 ，
所以 ，令 ，
因为 ，则 ，所以要使 在 恒成立，只需 ，
故 ，整理得 ，解得 ，
故选:A.
【点睛】
关键点睛：
本题的关键是由已知条件构造新函数 ，并结合导数和二次函数的性质列出关于参数的不等
式.
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 ， 上为增函数，在
上为减函数，则实数 的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
求导得到 ，然后根据 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，由
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