《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第7讲 极值与最值问题（原卷版）

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第7讲 极值与最值问题
方法总结：
1.求极值点的步骤：
（1）筛选： 令 求出 的零点（此时求出的点有可能是极值点）
（2）精选：判断函数通过 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则
不是极值点
（3）定性： 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值
点
2.在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的
分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就
是求函数单调区间的过程。
3.对于在定义域中处处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问
题可转化成导函数的零点问题。但要注意检验零点能否成为极值点。
4.极值点与函数奇偶性的联系：
（1）若 为奇函数，则当 是 的极大（极小）值点时， 为 的极小（极大）值
点
（2）若 为偶函数，则当 是 的极大（极小）值点时， 为 的极大（极小）值
点
5.利用导数求函数的最值步骤:
一般地，求函数
f(x)
在
[
a , b
]
上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求
f(x)
在 内的极值；
（2）将
f(x)
的各极值与端点处的函数值
f(a)
、
f(b)
比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是
最小值，得出函数
f(x)
在
[
a , b
]
上的最值
6.求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础
7.最值点的作用
（1）关系到函数的值域
（2）由最值可构造恒成立的不等式
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)求 的最小值；
(2)求证： ；
(3)若 ，求 的最小值．
例2．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ．
(1)若曲线 在点 ， （2） 处的切线斜率为 0，求 ；
(2)若 在 处取得极小值，求 的取值范围；
(3)在（2）的条件下，求证： 没有最小值．
例3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 f(x)＝xex－a(x＋ln x)．
(1)讨论 f(x)极值点的个数；
(2)若x0是f(x)的一个极小值点，且 f(x0)>0，证明：f(x0)>2(x0－)．
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 为自然对数的底数．
(1)当 时，证明：函数 只有一个零点；
(2)若函数 存在两个不同的极值点 ，求实数 a的取值范围．
过关练习：
1．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ．
(1)求 的单调区间和极值；
(2)若对一切 ， ，求 的最大值．
2．（2022·全国·高三专题练习（理））设函数 ．
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 存在三个极值点 ，且 ，求 的取值范围，并证明： ．
3．（2022·浙江·慈溪中学高三阶段练习）已知函数 （ 是自然对数的底数 ）.
(1)若 ，证明： 在区间 上不存在零点；
(2)若 ，函数 有两个极值点 ， .
（i）求实数 的取值范围；
（ii）证明：
4．（2022·福建三明·高三期末）已知函数 ．
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