《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第8讲 一元和多元不等式的证明（解析版）

3.0 envi 2025-03-06 4 4 1.94MB 39 页 3知币
侵权投诉
第8讲 一元和多元不等式的证明
方法总结：
1.证明一元不等式主要的方法有三个：
第一个方法是将含 的项或所有项均挪至不等号的一侧，将一侧的解析式构造为函数，通过分析函数
的单调性得到最值，从而进行证明，其优点在于目的明确，构造方法简单，但对于移项后较复杂的解析式
则很难分析出单调性
第二个方法是利用不等式性质对所证不等式进行等价变形，转化成为 的形式，若能证明
，即可得： ，本方法的优点在于对 的项进行分割变形，可将较复杂的
解 析 式 拆 成 两 个 简 单 的 解 析 式 。 但 缺 点 是 局 限 性 较 强 ， 如 果 与 不 满 足
，则无法证明 。所以用此类方法解题的情况不多，但是在第一个方法失
效的时候可以考虑尝试此法。
第三个方法是适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
2.证明多元不等式通常的方法有三个
（1）消元：① 利用条件代入消元 ② 不等式变形后对某多元表达式进行整体换元
（2）变量分离后若结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自变量大小来
证明不等式
（3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法。
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习（理））设函数 ．
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 存在三个极值点 ，且 ，求 的取值范围，并证明： ．
【答案】(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
(2) ；证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求得 ，结合 恒成立，通过 的正负即可判断 的单调性从而求得其单调区间；
（2）根据 有三个实数根，对参数 分类讨论，即可求得其取值范围，以及 的范围；根据
题意，结合 >的应用，即可证明 .
(1)
当 时， ， ，
令 ，则 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，故 ，即 ；
故当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
则 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
(2)
因为 ，又 有 3个极值点，故 有两个不等实根，且都不为 1，
令 ，则 ，当 时， ， 单调递增，
则 至多一个实根，不满足题意；
当 时，令 ，解得 ，此时 单调递增；
令 ，解得 ，此时 单调递减，
故要满足题意， ，解得 ；
此时 ，故 在 有一个根；
又 ，令 ，
则 ，则当 时， ，则 单调递增，
故 ，即 ，则 在 有一个根；
综上所述，当 时， 有三个实根 ，且 .
由 ，可得 ，故 ；
下证 >，
可变形为 ，令 ，则只需证 ，
则 ，故 在 单调递增，故 ，
则 >成立；所以 ，
也即 ，故 .
【点睛】
本题考察利用导数研究函数的单调性，以及极值点偏移问题，其中第二问的处理关键是利用不等式
>合理转化目标式，属综合困难题.
例2．（2022·全国·高三专题练习（理））设 a为实数，函数 f(x)＝ －2x＋2a，x∈R．
(1)求f(x)的单调区间与极值；
《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第8讲 一元和多元不等式的证明（解析版）.docx

共39页,预览5页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：高中 价格：3知币 属性：39 页 大小：1.94MB 格式：DOCX 时间：2025-03-06

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 39
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注