《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第5讲 函数的切线问题（解析版）

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第5讲 函数的切线问题
方法总结：
1、求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线，在求切线时可考虑先求出切线的斜率（切点导数）
与切点，在利用点斜式写出直线方程
2、若函数的导函数可求，则求切线方程的核心要素为切点 的横坐标 ，因为 可“一点两代”，代入
到原函数，即可得到切点的纵坐标 ，代入到导函数中可得到切线的斜率 ,从而一点一斜
率，切线即可求。所以在解切线问题时一定要盯住切点横坐标，千方百计的把它求解出来。
3、求切线的问题主要分为两大类，一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求
出切点与斜率即可，另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标 ,再考虑利用条件解出核心要素 .
4、在解析几何中也学习了求切线的方法，即先设出切线方程，再与二次方程联立利用 求出参数值进
而解出切线方程。解析几何中的曲线与函数同在坐标系下，所以两个方法可以互通。若某函数的图像为圆
锥曲线，二次曲线的一部分，则在求切线时可用解析的方法求解。若圆锥曲线可用函数解析式表示，像焦
点在 轴的抛物线，可看作 关于 的函数，则在求切线时可利用导数进行快速求解.
5. 导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，
同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）一条倾斜角为 的直线与执物线 交于不同的 两点，设弦
的中点为 过 作平行于 轴的直线交抛物线于点 ，则以 为切点的抛物线的切线的斜率为
（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设弦 所在直线的方程为 ， ，联立方程得 ，进而得
，再根据导数的几何意义求解.
【详解】
设弦 所在直线的方程为 ， ，
所以联立方程 得 ，
所以 ，解得
，
所以 ，
所以点 的坐标为 ，
所以联立方程 得 ，
此时 点在 轴上方，抛物线对应的函数为 ，故求导得 ，
所以点 的切线的斜率为 .
故选：C
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于
设弦 所在直线的方程为 ，进而与抛物线联立计算得 ，进一步计算得
，最后根据导数的几何意义求解.
例2．（2022·全国·高三专题练习）若经过点 P(2,8)作曲线 的切线，则切线方程为（ ）
A．B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】
【分析】
因为 P点在曲线上，所以需要分两种情况讨论，P点为切点和 P点不为切点，分别根据导数的几何意义求
解切线方程即可.
【详解】
①易知P点在曲线 上，当 P点为切点时， .
②当P点不是切点时，设切点为 ，由定义可求得切线的斜率为 .
∵A在曲线上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 (舍去)，
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