《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第18讲 多变量范围与最值问题（解析版）

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第18 讲 多变量范围与最值问题
方法总结：
1.消元法：
（1）利用等量关系消元：若题目中出现了变量间的关系（等式），则可利用等式进行消元，在消元的过
程中要注意以下几点：
① 要确定主元：主元的选取有这样几个要点：一是主元应该有比较明确的范围（即称为函数的定义域）；
二是构造出的函数能够解得值域（函数结构不复杂）
② 若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担。
（2）换元：常见的换元有两种：
① 整体换元：若多元表达式可通过变形，能够将某一个含多变量的式子视为一个整体，则可通过换元转为
一元表达式，在整体换元过程中要注意视为整体的式子是否存在范围，即要确定新元的范围
② 三角换元：已知条件为关于 的二次等式时，可联想到三角公式，从而将 的表达式转化为三角函
数表达式来求得范围。因为三角函数公式的变形与多项式变形的公式不同，所以在有些题目中可巧妙的解
决问题.
2.放缩法
（1）抓住题目中的不等关系，若含有两个变量间的不等关系，则可利用这个关系进行放缩消元
（2）配方法：通过利用“完全平方式非负”的特性，在式子中构造出完全平方式，然后令其等于 0，达到
消元的效果
（3）均值不等式：构造能使用均值不等式的条件，利用均值不等式达到消元的效果
（4）主元法：将多元表达式视为某个变量（即主元）的函数，剩下的变量视为常数，然后利用常规方法
求得最值从而消去主元，达到消元的效果。
3.数形结合
典型例题：
例1．设 ，则 的最小值为 　　
A．2 B．4 C．D．
【解答】解：由 ，可得 ，
则
．
当且仅当 时取等号．
因此 的最小值为 ．
故选： ．
例2．设 ，则 的最小值是 　　
A．2 B．4 C．D．5
【解答】解：
当且仅当 ， ， 时等号成立
如取 ， ， 满足条件．
故选： ．
例3．已知正数 、 、 满足 ，则 的最小值为 　　
A．3 B．C．4 D．
【解答】解：由题意可得 ， ，
，
当且仅当 即 时取等号，
又 ， ，
当且仅当 时取等号， ，
， ，
，
当且仅当 且 时取等号，
的最小值为 4
故选： ．
例4．设 ， ， ，且 ，则 的最大值是 　　
A．13 B．12 C．11 D．10
【解答】解： ， ， ，且 ，
，即 ，
那么令函数 ，
令 ，
则 ，
当 在 ， 时， ， 在 ， 上是单调递减；
当 在 ， 时， ， 在 ， 上是单调递增；
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