《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第22讲 数列中的范围与最值问题（原卷版）

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第22 讲 数列中的范围与最值问题
方法总结：
1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，
所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点，判断数列的单调性的方法：
（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于 的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。
由于 ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为 的函
数，得到函数的单调性后再结合 得到数列的单调性
（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，
通常的手段就是作差（与 0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与 1比较，但要求是正项数列）
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，若对任意的
， 恒成立，则实数 的取值范围是__．
例2．（2022·江苏南通·一模）设 是等比数列 的前 项和， ，且 、 、 成等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)求使 成立的 的最大值.
例3．（2022·浙江温州·高三开学考试）已知数列 和 满足 ， ，
.
(1)求 与 ；
(2)设 的前 n项和为 ，若不等式 ，对一切 都成立，求实数 的最小值.
例4．（2022·江西景德镇·模拟预测（理））已知数列 是公差不为零的等差数列， ，且 成
等比数列.
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，记数列 的前 n项和为 ，求使得 恒成立的 m的最小值.
例5．（2022·河南南乐·高三阶段练习（文））已知 是等差数列，满足 ， ，数
列 满足 ．
(1)求数列 、 的通项公式；
(2)设数列 的前 n项和为 ，令 ，求 的最小值．
例6．（2022·浙江·镇海中学高三期末）已知公差不为 0的等差数列 的前 项和为 ， 且
(1)求数列 的前 项和 ；
(2)在数列 中， ， 且 若对任意的正整数 ， 不等式
恒成立， 求实数 的取值范围．
例7．（2022·浙江·温州中学高三期末）已知数列 的前 项和为 ，数列 满足 ，
(1)求数列 与 的通项公式；
(2)若 ，对 恒成立，求实数 的取值范围.
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ， ，且 ．
(1)求数列 的通项；
(2)设数列 满足 ，记 的前 项和为 ．
① 求 ；
② 若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
过关练习：
一、单选题
1．（2022·湖北·荆州中学高三开学考试）已知等差数列 的公差不等于 0．其前 为项和为 ．若
，则 的最大值为（）
A．18 B．20
C．22 D．24
2．（2022·山西临汾·一模（文））已知{ }为等比数列， ，公比 .若 是数列{ }的前 n项积，
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