《2022年新高考数学90天突破130分综合讲义》第25讲 利用空间向量解立体几何问题（解析版）

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第25 讲 利用空间向量解立体几何问题
方法总结：
空间向量可解决的立体几何问题（用 表示直线 的方向向量，用 表示平面 的法向量）
1、判定类
（1）线面平行：
（2）线面垂直：
（3）面面平行：
（4）面面垂直：
2、计算类：
（1）两直线所成角：
（2）线面角：
（3）二面角： 或 （视平面角与法向量夹角关系
而定）
（4） 点 到 平 面 距 离 ： 设 为 平 面 外 一 点 ， 为 平 面 上 任 意 一 点 ， 则 到 平 面 的 距 离 为
，即 在法向量 上投影的绝对值。
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱 中，平面 侧面 ，且
.
(1)求证： ；
(2)若直线 与平面 所成的角为 ，请问在线段 上是否存在点 ，使得二面角 的大小
为 ，若存在请求出 的位置，不存在请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点 E为线段 中点
【解析】
【分析】
(1)通过作辅助线结合面面垂直的性质证明 侧面 ，从而证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标,再求相关的向量坐标，求平面 的法向量，利用向量的
夹角公式求得答案.
(1)
证明：连接 交 于点 ，
因 ，则
由平面 侧面 ，且平面 侧面 ，
得 平面 ，又 平面 ，所以 .
三棱柱 是直三棱柱，则 底面 ABC，所以 .
又 ，从而 侧面 ，
又 侧面 ，故 .
(2)
由(1). 平面 ，则 直线 与平面 所成的角,
所以 ，又 ，所以
假设在线段 上是否存在一点 E，使得二面角 的大小为 ,
由 是直三棱柱，所以以点 A为原点，以 AC､所在直线分别为 x，z轴,以过 A点和 AC 垂直
的直线为 y轴，建立空间直角坐标系 ，
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