《2022年新高考数学应用类型问题专题突破（新高考地区专用）》专题03 三角函数与解三角形（解析版）

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专题 03 三角函数与解三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+2（解答题）
时间：90 分钟
一、单选题
1．（2020·吉林市教育学院高三期中（理））下图是中国古代数学家赵爽设计的弦图，弦图是由四个全等
的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若大、小正方形的面积分别为 25 和1，直角三角形
中较大锐角为 ，则 等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据大、小正方形的面积分别为 25 和1，得到大、小正方形的边长分别为 5和1，再根据小正方形的边长
等于直角三角形的长直角边减去短直角边，利用三角函数的定义，得到以 ，再
两边平方求解.
【详解】
因为大、小正方形的面积分别为 25 和1，
所以大、小正方形的边长分别为 5和1
所以
两边平方得
所以
故选：A
2．（2020·黑龙江大庆实验中学月考（理））大数学家欧拉发现了一个公式： ， 是虚
数单位， 为自然对数的底数.此公式被誉为“数学中的天桥”.根据此公式， （
）（注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算）
A．1 B．C．iD．
【答案】D
【分析】
先根据公式将原式变为 ，再根据注释将原式变为 ，结合三角函数的诱
导公式即可计算出结果.
【详解】
因为 ，
所以 ，
故选：D.
3．（2020·湖南怀化·月考）已知两座灯塔 和 与海洋观察站 的距离都等于 5，灯塔 在观察站
的北偏东 ，灯塔 在观察站 的南偏东 ，则灯塔 与灯塔 的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据题意画出 ABC 的相对位置，再利用正余弦定理计算．
【详解】
如图所示， ,，
选B.
【点睛】
本题考查解三角形画出相对位置是关键，属于基础题．
4．（2020·海南高三一模）希波克拉底发现了平面几何里应用广泛的月牙定理，即以直角三角形两条直角
边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙型面积之和等于该
直角三角形的面积.如图所示，阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是 的外接圆和以
为直径的圆的一部分，若 ， ，则该月牙形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由题意，内侧圆弧为 外接圆的一部分，由已知利用扇形面积公式、三角形面积公式，可得弓形
的面积，由于外侧圆弧以 AB 为直径，可求半圆 AB 的面积，即可得答案.
【详解】
如图，取 的中点 ，连接 .
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