《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第4节 函数值不等式的解法与端点临界特征-解析版

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第4节 函数值不等式的解法与端点临界特征
知识与方法
函数值不等式有两个常用解法：
1．画草图，由图解不等式.
2.利用函数的单调性，转化为自变量的不等式来解.
提醒：①在解偶函数的函数值不等式时，常用 将自变量全部化
到 上；②在选择题中，有时也可以巧用临界思想来快速求解，其基本原理是：函数
值不等式的解构成的区间的端点大概率能够使得题干所给的函数值不等式左右两侧相等，
不满足这一特征的实数大概率不是不等式的解构成的区间端点值.我们可以通过验证所给选
项的区间端点是否满足这一特征来排除选项，但这一方法并不是严谨的解题过程，使用时
需慎重.
典型例题
【例题】函数 是定义在 R上的增函数，若 ，则实数 的取值范围为_
________.
【解析】 在 R上 ，所以 等价于 ，解得： .
【答案】
变 式 1 定 义 在 上 的 函 数 满 足 ， 且
，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【解析】由题意， 在 上 ，所以 等价于 ，解
得： .
【答案】C
变式 2 已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围为（
）
A. B. C. D.
【解析】
解法 1：作出 的大致图象如图所示，由图可知 在 R上 ，所以
等价于 ，解得： .
解法 2（端点临界法）：当 时， ， ，
所以 是区间的端点值，当 时， ， ，
所以 不是区间的端点值，由此可得出选 A.
【答案】A
【反思】上面的解法 2运用了临界思想，其基本原理是：函数值不等式的解构成的区间的
端点大概率能够使得题干所给的函数值不等式左右两侧相等，不满足这一特征的实数大概
率不是不等式的解构成的区间端点值，我们可以通过验证所给选项的区间端点是否满足这
一特征来排除选项.但这一方法并不严密，后面的变式 7给出了一个失效的实例，所以这种
方法只能作为一种解题的辅助手段.
变式 3 已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围为___
___.
【解析】由题意， ，所以 在 R上
，从而 等价于 ，解得： .
【答案】
变式 4 己知函数 ，若 ，则实数 的取值范围为
_____.
【解析】由题意， ，所以 在 R上
， 另 一 方 面 ， ， 所 以
是奇函数，从而
，解得： .
【答案】
变 式 5 函 数 是 定 义 在 R上 的 偶 函 数 ， 且 在 上 单 调 递 增 ， 若
，则实数 x的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【解析】
解法 1：因为 是偶函数，所以 ，
又 在 上 ，所以 ，从而 ，解得： .
解法 2（端点临界法）：当 时， ，
是偶函数 应为区间的端点值，
当 时， ，所以 应为区间的端点值，
当 时， ， ，所以 不是区间的端点值，由此可得出选
A.
【答案】A
【反思】偶函数有关的函数值不等式中，常根据 在自变量上加绝对
值，将自变量全部化到 上进行考虑.
变式 6 （2015·新课标Ⅱ卷)设 ，则使 成立的 的
取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【解析】
解法 1：显然 是定义在 R上的偶函数，
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