《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第16节 蒙日圆-解析版

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第16 节 蒙日圆
知识与方法
1．蒙日圆：如下图所示，过点 P作椭圆 的两条切线，若这两
条切线互相垂直，则点 P的轨迹是圆 ，该圆即为蒙日圆.
2．蒙日圆的性质：如下图所示，延长 、 与蒙日圆分别交于点 M、N， 与
交于点 Q，则：
（1）M、O、N三点共线；
（2） ；
（3） ；
（4）.
提醒：双曲线 的蒙日圆为 ，而当 时，双曲
线没有蒙日圆；抛物线的蒙日圆是抛物线的准线，这里把直线看成了半径无限大的圆.
典型例题
【例 1】已知椭圆 ，若直线 上存在点 P，使得过
P作椭圆 C的两条切线，且这两条切线互相垂直，则 m的取值范围是______.
【 解 析 】 要 使过 点 P作 的 椭 圆 C的 两 条 切 线 互 相 垂 直 ， 则 点 P在 椭 圆 C的 蒙 日 圆
上，所以问题等价于直线 l与圆 有公共点，从而圆心 O到直线 l的距
离 ，
解得： ，所以 m的取值范围是 .
【答案】
变式 1 已知椭圆 ，若直线 上存在点 P，使得过
P作椭圆 C的两条切线 、 ，其中 A、B为切点，且 是钝角，则 m的取值范围
是______.
【解析】要使 为钝角，则点 P应落在如图所示的蒙日圆 内椭圆 C外的部
分，所以只需直线 l与蒙日圆相交即可，
从而圆心 O到直线 l的距离 ，
解得： ，所以 m的取值范围是 .
【答案】
变式 2 已知椭圆 和点 ，若 P为一动点，且过 P作椭圆 C的两条切
线 、 ，其中 A、B为切点，满足 为锐角，若 恒成立，则 d的最大值是
______.
【解析】要使 为锐角，则点 P应落在如图所示的蒙日圆 外，延长 交蒙
日圆于点 ，显然蒙日圆上的动点到点 Q的距离的最小值为 ，
从而当点 P在蒙日圆外运动时， 的取值范围是 ，
要使 恒成立，则 ，所以 .
【答案】1
【例 2】（2014·广东）已知椭圆 的一个焦点为 ，离心率为
.
（1）求椭圆 C的标准方程；
（2）若动点 为椭圆外一点，且点 P到椭圆 C的两条切线相互垂直，求点 P的轨
迹方程.
【解析】（1）由题意， ，且
解得： ， ，故椭圆 C的方程为 .
（2）若两条切线分别与 x轴、y轴垂直，这样的点 P有四个，
分别为 ， ， ， ，
若切线都不与坐标轴垂直，设切线方程为 ，
代入椭圆方程整理得： ，
判别式 ，
化简得： ，
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