《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第八章 第3节 椭圆、双曲线的角版焦半径、焦点弦公式-解析版

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第3节 椭圆、双曲线的角版焦半径、焦点弦公式
知识与方法
1．椭圆 的一个焦点为 F，P为椭圆上任意一点，设 ，
则椭圆的焦半径 ，若延长 交椭圆于另一点 Q，则椭圆的焦点弦
.
2． 双 曲 线 的 一 个 焦 点 为 F，P为 双 曲 线 上 任 意 一 点 ， 设
，则双曲线的焦半径 ，若直线 交双曲线于另一点 Q，则双
曲线的焦点弦 .（焦半径公式中取“+”还是取“－”由 P和F是否位于
y轴同侧决定，同正异负）
典型例题
【例 1】已知椭圆 的左焦点为 F，过 F且倾斜角为 45°的直线 l交椭圆 C于
A、B两点，则 ______；若 ，则 =______.
【解析】如图，设 ，则
由焦点弦公式， ，
由焦半径公式， ，
，所以 .
【答案】 ，
变式 1 已知椭圆 的左焦点为 F，过 F且斜率为 2的直线 l交椭圆 C于A、B两
点，则 ______
【解析】设直线 l的倾斜角为 ，则 ，所以 ，
由焦点弦公式， .
【答案】
变式 2 已知椭圆 的左焦点为 F，过 F的直线 l交椭圆 C于A、B两点，若
，则 ______.
【解析】设 ，则由焦半径公式， ，解得：
，由焦点弦公式， .
【答案】
变式 3 已知椭圆 的左焦点为 F，过 F的直线 l交椭圆 C于A、B两点，若
，则 ________.
【 解 析 】 设 ， 则 ， 由 焦 半 径 公 式 ，
， ， 所 以
，从而 ，即 .
【答案】2
【反思】一般地，设椭圆 的一个焦点为 F，过 F的直线 l交椭圆 C
于A、B两点，则 .
变式 4 已知椭圆 的右焦点为 F，过 F且倾斜角为 60°的直线 l交椭
圆C于A、B两点，若 ，则椭圆 C的离心率为________.
【解析】由焦点弦公式， ，
解得： ，所以 .
【答案】
变式 5 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，过 且斜率为 1的直
线l交椭圆 C于A、B两点，若 、 、 成等差数列，则椭圆 C的离心率为_____
_.
【解析】直线 l的斜率为 的倾斜角 ，由焦点弦公式， ，
、 、 成等差数列 ，
如图，由椭圆定义可得 ，
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