《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第八章 第6节 椭圆、双曲线焦点三角形下的离心率公式-解析版

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第6节 椭圆、双曲线焦点三角形下的离心率公式
知识与方法
1．如图 1所示，在焦点三角形背景下求椭圆的离心率，一般结合椭圆的定义，关键是
运用已知条件研究出 的三边长之比或内角正弦值之比.
公式：
2.如图 2所示，在焦点三角形背景下求双曲线的离心率，一般结合双曲线的定义，关
键是运用已知条件研究出 的三边长之比或内角正弦值之比.
公式： .
典型例题
【例 1】（2018·新课标Ⅱ卷）已知 、 是椭圆 C的两个焦点，P是椭圆 C上的一点，若
，且 ，则 C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【解析】解法 1：如图， ， ，故可设 ，则 ，
，
所以 C的离心率 .
解法 2：如图，
.
【答案】D
变式 1 设 、 是椭圆 的左、右焦点，P在C上且 轴，若
，则椭圆 C的离心率为_______.
【解析】如图， 且 ，故可设 ，则 ， ，
所以椭圆 C的离心率 .
解法 2：如图，
【答案】
变式 2 在 中， ， ，则以 B、C为焦点，且经过点 A的椭圆的
离心率为_______.
【解析】如图，不妨设 ， ，
则 ，所以 .
解法 2：如图，
.
【答案】
变式 3 过椭圆 的左焦点 作 x轴的垂线交椭圆于 A、B两点，椭圆的
右焦点为 ，若 是等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_______.
【解析】解法 1：如图， 是等腰直角三角形 也是等腰直角三角形，
不妨设 ，则 ，
所以椭圆的离心率 .
解法 2：如图，由题意， ，
所以椭圆的离心率 .
【答案】
变式 4 过椭圆 的左焦点 作 x轴的垂线交椭圆于 A、B两点，椭圆的
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