《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第六章 第7节 斜棱柱技法-解析版

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第7节 斜棱柱技法（新高考、理科专用）
知识与方法
斜棱柱是高考立体几何大题中常见的几何体，因为侧棱与底面并不垂直，故有两大难
点须突破：
1.如何建系：在高考题中，斜棱柱往往会给出面面垂直或给出某个顶点在底面上的投
影位置这类条件.若是前者，可根据面面垂直的性质定理得出线面垂直，进而建立坐标系；
若是后者，则等于直接给出了线面垂直，建系即可.
2.“困难点”的坐标：斜棱柱中往往存在着某些顶点在坐标平面上的投影位置不易寻找
的情况，这些点的坐标不易直接写出，此时可借助向量可以平移的特征，运用向量的线性
运算规则，巧妙地避开直接写“困难点”的坐标，体现了转化与化归的数学思想.
典型例题
【例题】如下图所示，在三棱柱 中， ， 平面 ，
，D、E分别是 、 的中点.
（1）证明： ；
（2）证明： 平面 ；
（3）求 与平面 所成角的正弦值.
【解析】解：（1）由题意， 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ，且 、 平面 ， ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）取 中点 F，连接 、 ，因为 D、E分别是 、 的中点，所以
且 ，又 且 ，所以 且 ，故四边
形 为平行四边形，从而 ，因为 平面 ， ，所以
平面 .
（3）由（1）知 ，又 ，所以 ，
以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ，
， ，所以 ， ， ，
，设平面 的法向量为
，则 ，所以 ，
从而 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【反思】本题若直接写点 的坐标，则需要耗费更多的时间，像解析那样，运用向量的线
性运算，巧妙地回避写像 这种困难点的坐标，是比较好的处理方法.
强化训练
1.（★★★★）如下图所示，在三棱柱 中，底面 与 均为等边三角
形， ， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】（1）取 中点 O，连接 、 ，由题意， 与 都是边长为 2的正
三角形，所以 ，且 ，故 ，所以 ，
因为 、 平面 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面
（2）以 O为原点建立如图所示的坐标系，则 ， ， ，
，所以 ， ， ，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，所以
从而 ，故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
2.（★★★★）在三棱柱 中，已知 ， ，点 在底
面 的投影是线段 的中点 O.
（1）证明：在侧棱 上存在一点 E，使得 平面 ，并求出 的长；
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