《2023届高考数学一轮复习解题技巧方法》第四章 第2节 几何法分析向量模的最值问题-解析版

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第2节 几何法分析向量模的最值问题
知识与方法
向量兼具代数、几何双重特征，在诸多平面向量的最值问题（数量积最值、模最值）
中，分析已知条件并画出图形，寻找最值是一种重要的解题方法，本节主要针对用几何法
分析向量模的最值问题.
典型例题
【例 1】设平面向量 a和b满足 ，a与b的夹角为 60°，若 ，则 的
最大值为______.
【解析】解法 1： ， ，
如图，将向量 c和 起点都放在点 O，则向量 c的终点 C应在以 A为圆心，2为半径的
圆上，由图可知， 的最大值为 .
解法 2： ，
设 ， ，
则 ，因为 ，所以 ，
而 ，所以问题可以看成求圆 上的动点到原点距离的最大值，
显然 .
【答案】
【例 2】已知 a是单位向量，向量 b满足 ，则 的取值范围为_______.
【解析】解法 1：如图，将向量 a和b的起点均放在点 O， 的终点落在以
为直径的圆上，所以 的取值范围为 .
解法 2：设 ，设 ，则 ，
所以 ，整理得： ，
而 ，所以问题可以看成求圆 上动点到原点距离的取值范围，
显然原点在该圆上，故 的取值范围为 .
【答案】
【例 3】设 ，点 C在线段 上，且 ，则 的最
小值为_______.
【解析】解法 1： 且 ， ，
设D为 中点，如图，由图可知当 时， 取得最小值 .
解法 2： 且 ，
，
故当 时， 取得最小值 .
【答案】
强化训练
1.（★★★）已知 a和b是单位向量，且 ，若向量 c满足 ，则 的取值
范围为________.
【解 析 】解法 1： 设 ， ， ， 则 ，
，而 ，所以问题可以看成求圆：
上 动 点 P到 原 点 O距 离 的 取 值 范 围 ， 因 为 ， 所 以
，故 的取值范围为 .
解法 2：由题意， ，如图，设 ， ，以 T为圆心，1为半径画圆
则 当 点 C在 圆 T上 运 动 时 ， 总 有 ， 由 图 可 知 的 取 值 范 围 为
.
【答案】
2.（★★★）已知 ， ，要使 最小，则实数 x的值为________.
【解 析 】解法 1： ，所以当
时， 最小.
解法 2： ，设 ， ， ，
则点 C在直线 上，且 ，
如图，当 时， 达到最小值， 也就最小，
由 题 干 所 给 数 据 易 得 为 正 三 角 形 ， 所 以 当 C为 中 点 时 ， ，此 时
，.
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