《2023年高考数学一轮复习《考点题型技巧》精讲与精练高分突破系列（全国通用）》专题02 复数（原卷版）
专题 02 复数
【考点总结】
考点 01 复数的有关概念
(1)复数的有关概念
形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中 a，b 分别是它的实部和虚部．若 b＝0，则 a＋bi
为实数，若 b≠0，则 a＋bi 为虚数，若 a＝0 且 b≠0，则 a＋bi 为纯虚数．
(2)复数的分类
复数 z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di a⇔＝c 且 b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔a＝c 且 b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模：向量OZ的模叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|
＝r＝ (r≥0，a，b∈R)．
考点 02 复数的几何意义
(1)复数 z＝a＋bi―→复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)―→平面向量OZ.
考点 03 复数的代数运算
(1)复数的加、减 、乘、除运算法则
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
① 加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
② 减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③ 乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④ 除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3∈C，有 z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋
z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
常用结论
(1)(1±i)²＝±2i；＝i；＝－i.
(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.
(3)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
(4)|z|²＝|z|²＝z·z.
【题型归类】
类型一共轭复数
1.已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式 1-1】设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式 1-2】已知 是复数 的共轭复数，若 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【变式 1-3】在复平面内，复数 对的点的坐标是 ，则 （ ）
A． B． C． D．
类型二求模长
2.复数 满足： ( 为虚数单位)，且 在复平面内对应的点位于第三象限，则复
数的模 为（ ）
A．5 B．3 C． D．
【变式 2-1】已知 z＝a＋bi，其中 a，b∈R，且满足(a＋i)²＝bi5，则|z|＝( )
A．5 B．
C．3 D．
【变式 2-2】设复数 是虚数单位），则 ________； ________.
类型三复数的计算
3.设复数 ， 满足| |＝| |＝2， ＋ ＝＋i，则| － |＝_______.
【变式 3-1】已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
类型四复数得几何意义
4.设 i 是虚数单位， 的复数 z 的共轭复数，z＝1+2i，则复数 z+i• 在复平面内对应的点
位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式 4-1】设 i 是虚数单位，若 z＝cos θ＋isin θ，且其对应的点位于复平面内的第
二象限，则 θ 位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【变式 4-2】已知 i 是虚数单位，则满足 z－i＝|3＋4i|的复数 z 在复平面上对应点所在的
象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
专题训练
1. 已知 a∈R，复数 z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为( )
A．1 B．i C. D．0
2. 若复数 在复平面内对应的点在第二象限内，则实数 a 的值可以是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
3. 复数 的虚部是( )
A． B． C． D．
4. 已知复数 z 1( 为虚数单位，a∈R)为纯虚数，则实数 a=( )
A． B． C．0 D．2
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