《2023年高考数学一轮复习《考点题型技巧》精讲与精练高分突破系列（全国通用）》专题02 同角三角函数（解析版）

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专题 02 同角三角函数
【考点总结】
一、同角三角函数的基本关系式
1．平方关系
．
2．商的关系
．
3．同角三角函数基本关系式的变形
（1）平方关系的变形： ；
（2）商的关系的变形： ；
（3） ．
二、三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角
2
k
π+
α
（
k
∈Z）
π+
α
−
α
π−
α
−
α
+
α
正弦 sin
α
sin−
α
sin−
α
sin
α
cos
α
cos
α
余弦 cos
α
cos−
α
cos
α
cos−
α
sin
α
sin−
α
正切 tan
α
tan
α
tan−
α
tan−
α
口诀
函数名不变，
符号看象限
函数名改变，
符号看象限
【题型归类】
类型一
已知
0<α<π
，
sin (π − α )+cos(π+α)=m
.
（1）当
m=1
时，求
α
的值；
（2）当
m=❑
√
5
5
时，求
tan α
的值.
【解析】（1）由已知得
，∴
1−2 sin αcos α=1
，∴
sin αcos α=0
，
又
0<α<π
，∴
cos α=0
，∴
α=π
2
.
（2）当
m=❑
√
5
5
时，
sin α − cos α=❑
√
5
5
.①
方法 1：
1−2 sin αcos α=1
5
，∴
sin αcos α=2
5>0
，∴
0<α<π
2
，
∵
(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=9
5
，∴
sin α+cos α=3❑
√
5
5
.②
由①②可得
sin α=2❑
√
5
5
，
cos α=❑
√
5
5
，∴
tan α=2
.
方法 2：
sin2α − 2sin αcos α+cos2α=1
5=1
5(sin 2α+cos2α)
，
∴
2 sin2α −5 sin αcos α+2 cos2α=0
，∴
2 tan2α − 5 tan α+2=0
，
∴
tan α=2
或
tan α=1
2
，
又
1>sin α − cos α=❑
√
5
5>0
，∴
π
4<α<π
2
，∴
tan α>1
，
∴
tan α=2
.
【变式】
已知 ，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以
.
故选 A.
【名师点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数式的化简等知识，意在考查学生的
转化能力和计算求解能力.由题意结合诱导公式和三角函数的性质化简三角函数式即可.
类型二
在 中，内角
A
，
B
，
C
所对的边分别是
a
，
b
，
c
，若
a=2❑
√
3
， ，
tan A=3
4
，则
sin A=¿
______，
b=¿
________.
【答案】 ，
4+❑
√
3
【解析】由 ,得 ，
,
由正弦定理 .
类型三
(1)已知 sin
α
cos
α
＝，且<
α
<，则 cos
α
－sin
α
的值为(　　)
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