《2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）》专题06 利用导数研究函数的最值(解析版)

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专题 06 利用导数研究函数的最值
专项突破一 函数最值与极值关系
一、单选题
1． 是定义在 的函数，导函数 在 内的图象如图所示，则下列说法有误的是（ ）
A．函数 在 一定存在最小值 B．函数 在 只有一个极小值点
C．函数 在 有两个极大值点 D．函数 在 可能没有零点
【解析】
由导函数的图像可知原函数的图像如图所示，
对于 A：不确定端点及极小值的大小，同时端点值取不到，故不一定有最小值，A错误；
对于 B：由图像可知只有一个极小值，B正确；
对于 C：由图像可知有两个极大值，C正确；
对于 D：函数图像极值大小不确定且可以上下平移，故在 可能没有零点，D正确.
故选：A.
2．已知函数 的导函数图像，如图所示，那么函数 （ ）
A．在 上单调递增 B．在 处取得极小值
C．在 处切线斜率取得最大值 D．在 处取得最大值
【解析】结合图像易知，当 时，函数 是减函数，
当 时，函数 取极小值，当 时，函数 是增函数，
当 时，函数 取极大值，不一定是最大值，
当 时，函数 是减函数，结合上述易知，A、B、D错误，
因为函数在某点处的导函数值即函数在这点处的切线斜率，
所以由图像易知，在 处切线斜率取得最大值，C正确，故选：C.
二、多选题
3．下列关于极值点的说法正确的是（ ）
A．若函数 既有极大值又有极小值，则该极大值一定大于极小值
B． 在任意给定区间 上必存在最小值
C． 的最大值就是该函数的极大值
D．定义在 上的函数可能没有极值点，也可能存在无数个极值点
【解析】A选项，例如 ，在 处取得极小值 ，在 处取得极大值 ，而
，故极大值不一定大于极小值，A错误，
C选项， ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
根据极值的定义可知： 在 处取得极大值，也是最大值，C正确；
对于 D， 无极值点， 有无数个极值点，D正确；
在R上为连续函数，因为连续函数在闭区间上必定存在最值，所以 B正确；
故选：BCD
．
4．下列说法正确的是（ ）
A．极值点处的导数值为
B．极大值一定比极小值大
C．可导函数在闭区间内的最大值必在极值点或区间端点处取得
D．如果函数 的定义域为 ，且 在 上递减，在 上递增，则 的最小值为
【解析】对于 A，函数的极值点处未必可导，如 是 的极值点，但 在 处不可导，A错
误；
对于 B，函数的极大值和极小值可能有无数个，是由函数的单调性得到的，大小关系不确定，B错误；
对于 C，可导函数在闭区间内连续，其最值必在极值点或区间端点处取得，则最大值也必在极值点或区间
端点处，C正确；
对于 D，由单调性可知，函数 在区间 内有唯一的极小值点 ，且根据单调性可知其为最小值
点，即最小值为 ，D正确.
故选：CD.
5．（多选）下列结论中不正确的是（ ）.
A．若函数 在区间 上有最大值，则这个最大值一定是函数 在区间 上的极大值
B．若函数 在区间 上有最小值，则这个最小值一定是函数 在区间 上的极小值
C．若函数 在区间 上有最值，则最值一定在 或 处取得
D．若函数 在区间 内连续，则 在区间 内必有最大值与最小值
【解析】若函数 在区间 上有最值，则最值可能在极值点或区间端点处取得，故 A，B，C都不正
确；函数在闭区间上一定有最值，故 D正确.故选：ABC.
专项突破二 求具体函数最值
一、单选题
1． 在区间 上的最大值是（ ）
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