《2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）》专题16 利用导数研究双变量问题（解析版）

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专题 16 利用导数研究双变量问题
破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等
式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
一、单选题
1．已知 若对于任意两个不等的正实数 、 ，都有 恒成立，
则 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】不妨设 ，可得 ，可得 ，
令 ，则 ，
所以，函数 在 上为增函数，
对任意的 恒成立，所以， ，
当 时， ，当且仅当 时，等号成立，
所以， .故选：B.
2．已知函数 ，若 且满足 ，则 的取值范围是
（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意 时， 是减函数，且 ，
时， 是减函数，且 ，
由 且 得， ， ， ，
，所以 ， ，
设 ， ，
时， ， 是增函数，所以 ，即 ，
所以 ．故选：C．
3．已知函数 ，且 有两个极值点 ，其中 ，则 的最小值为
（ ）
A．B．C．D．
【解析】 的定义域 ，
，令 ，则 必有两根 ，
，所以 ，
，
，
，
当 时， ， 递减，所以
的最小值为 ，故选：A.
4．设函数 ，函数 ，若对于 ， ，使 成
立，则实数 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】若对于 ， ，使 成立，只需 ，
因为 ，所以 ，当 时， ，所以 在 上是减函数，
所以函数 取得最小值 ．因为 ，
当 时， 在 上单调递增，函数取得最小值 ，需 ，不成立；
当 时， 在 上单调递减，函数取得最小值 ，需 ，解得 ，此时
；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，函数取得最小值 ，需 ，
解得 或 ，此时无解；综上，实数 的取值范围是 ，故选:A．
5．已知 e为自然对数的底数，若对任意 ，总存在唯一的 ，使得 ，成立，则
实数 a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】设 ， ， ， ，
， 时， ， 递减， 时， ， 递增，∴
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