《2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）》专题24 导数中的洛必达法则(原卷版)

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专题 24 导数中的洛必达法则

函数与导数应用的问题中求参数的取值范围是重点考查题型．在平时教学中，教师往往介绍利用变量

分离法来求解．但部分题型利用变量分离法处理时，会出现“”型的代数式，而这是大学数学中的不定式

问题，解决这类问题的有效方法就是利用洛必达法则．

[洛必达法则]

法则 1　若函数 f(x)和g(x)满足下列条件

(1)lim f(x)＝0及lim g(x)＝0；

(2)在点 a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且 g′(x)≠0；

(3) lim ＝l，那么lim ＝lim ＝l.

法则 2　若函数 f(x)和g(x)满足下列条件

(1) lim f(x)＝∞及lim g(x)＝∞；

(2)在点 a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且 g′(x)≠0；

(3) lim ＝l，那么lim ＝lim ＝l.

1．已知函数 f(x)＝＋，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 x＋2y－3＝0.

(1)求a，b的值；

(2)如果当 x>0，且 x≠1时，f(x)>＋，求 k的取值范围．

2．设函数 f(x)＝1－e－x，当 x≥0时，f(x)≤，求 a的取值范围．

3．定义在 R上的奇函数 f(x)，当 x>0 时，f(x)＝ln x－ax＋1，若 f(x)有5个零点，求实数 a的取值范围．

4．已知函数 f(x)＝ax＋＋c(a>0)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为 y＝x－1.

(1)试用 a表示出 b，c；

(2)若f(x)≥ln x在[1，＋∞)恒成立，求 a的取值范围．

5．已知函数 f(x)＝x2ln x－a(x2－1)，a∈R．若当 x≥1 时，f(x)≥0 恒成立，求实数 a的取值范围．

6．已知函数 f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)，若当 x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求 a的取值范围．

7．已知函数 f(x)＝x(ex－1)－ax2(a∈R)．

(1)若f(x)在x＝－1处有极值，求 a的值．

(2)当x>0 时，f(x)≥0，求实数 a的取值范围．

8．已知函数 f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)．若对任意 x>0 都有 f(x)>ax 成立，求实数 a的取值范围．

9．设函数 f(x)＝ln(x＋1)＋ae－x－a，a∈R，当 x∈(0 ∞，＋ )时，f(x)≥0 恒成立，求 a的取值范围．

10．设函数 f(x)＝ex－1－x－ax2．

(1)若a＝0，求 f(x)的单调区间；

(2)若当 x≥0 时，f(x)≥0，求 a的取值范围．

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