《2023年新高考数学之函数专项重点突破（新高考专用）》专题03 函数的最值(值域)求法(解析版)

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专题 03 函数的最值(值域)求法
专项突破一 单调性法
1．函数 在 的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为函数 是单调递增函数，所以函数 也是单调递增函数，
所以 .故选：C
2．已知函数 ，若 对任意 恒成立，则实数 m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为 在 单调递增， 在 单调递增，
所以 在 单调递增.所以 .
因为 对任意 恒成立，所以 .故选：D
3．若函数 的值域是 ，则函数 的值域是（ ）
A．B．C．D．
【解析】令 ， ，则 ．
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
又当 时， ，当 时， ，当 时， ，
所以函数 的值域为 ，故选：B．
4．已知函数 ， ，若 ， ，使得 ，则实数 a的取
值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】 ，使得 ，等价于 ， ，
由对勾函数的单调性知 在 上单调递减，所以 ，
又 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 .故选：A.
5．函数 ，若 的最大值和最小值是____．
【解析】令 t＝sinx+cosx＝sin（x+），当 x∈[0，]时，则 t∈[1，]，
所以 2sinxcosx＝t21﹣，则 y＝t2+t+1＝（t+）2+，在 t∈[1，]上单调递增，
此时 y的最大值是 ，而最小值是 3．
6．函数 的值域为___________.
【解析】依题意， 在 上单调递减，则当 时， ，
在 上单调递增，则当 时， ，
所以函数 的值域为 .
7．已知函数 ．
(1)试判断函数 在区间 上的单调性，并证明；
(2)求函数 在区间 上的值域.
【解析】(1)函数 在 上的为增函数，理由如下：
任取 ，且 ，有
，
∵ ，∴ ，
∴ 即 ，∴函数 在区间 上单调递增，
(2)由（1）可知函数 在区间 上单调递增，
∴ ，又∵ 时， ，∴
∴ ，∴函数 的值域为 .
8．检验下列函数的增减性，并说明是否有最大（小）值．如果有，指出最大（小）值和对应的最大
（小）值点．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【解析】(1)因为 ，所以函数 在 上单调递增，区间 为开区间，
所以该函数没有最大值和最小值；
(2)因为 ，所以一次函数 在 上单调递减，
所以 ，因此该函数单调递减，
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