《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题03 函数模型（解析版）
专题 03 函数模型
专题点拨
随着新高考改革，函数模型的应用题越来越多，新的课程标准中 6大学科素养中，其中
2个是数学建模和创新能力，这在函数中体现的很明显。其中数学建模主要是指函数模型
的解决，主要有一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型、指对数函数模型等。另外
就是构造函数的能力。
真题赏析
1.(2020·上海)已知 ，其反函数为 ，若 有实数根，
则a的取值范围为______.
【答案】
【解析】解：因为 与 互为反函数，
若 与 有实数根，
则 与 有交点，
所以 ，
即 ，
故答案为：
2.(2020·上海)设 ，若存在定义域为 R的函数 同时满足下列两个条件：
对任意的 ， 的值为 或 ；
关于 x的方程 无实数解，
则a的取值范围是_________.
【答案】
【解答】
解：根据条件 由函数的基本概念可得 ，解得 或 ，
又因为关于 x的方程 无实数解，
所以 且 ，
故 ，
故答案为
3． (2020·上海)在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆
数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通
流量为 ，x为道路密度，q为车辆密度．
，
若交通流量 ，求道路密度 x的取值范围；
已知道路密度 时，交通流量 ，求车辆密度 q的最大值．
【答案】解： 当 时，因为 ， 是单调递减函数，v最大为
85，不符合题意；
于是只需令 ，解得 ，
故道路密度 x的取值范围为
把 ， 代入 中，
得 ，解得
，
当 时，q单调递增， ；
当 时， ，
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