《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题10 圆锥曲线的性质及其应用（解析版）

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专题 10 圆锥曲线的性质及其应用

专题点拨

1.熟练掌握椭圆、双曲线以及抛物线的标准方程中基本量的关系，能够准确应用三种曲线

的轨迹定义来解决问题.

2．弦长公式：斜率为 k的直线与圆锥曲线交于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则截得的弦长: |

AB|＝ =·|x1－x2|＝·|y1－y2|(k≠0)．

3. 涉及焦点弦问题：一般要联想圆锥曲线的轨迹定义加以分析求解.

涉及中点弦及直线的斜率问题：需要利用“根与系数的关系”求解．

真题赏析

1．(2018·上海)双曲线 ﹣y2=1 的渐近线方程为　　．

【

答案】

【解析】由 a=2,b=1，故渐近线方程为

2． (2017·上海)设双曲线－＝1(b>0)的焦点为 F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|＝

5，则|PF2|＝__________．

【答案】3

【解析】依题意，有

，可得 4c2＋36＝4a2，即 a2－c2＝9，故有 b＝3.

例题剖析

【例 1】（2021•嘉定区三模）设椭圆，直线过的左顶点交轴于

点，交于点，若为等腰三角形为坐标原点），且是的中点，则的

长轴长等于　　．

【分析】画出图形，利用已知条件求出的坐标，代入椭圆方程，求和求解即可．

【解答】解：如图所示，设，．

由题意可得：，．

因为是的中点，所以，

，，，

代入椭圆方程可得：，解得．椭圆的长轴长等于．

故答案为：．

【变式训练 1】设 P是椭圆 + =1 上的动点，则 P到该椭圆的两个焦点的距离之和

为（）

A. B.2 C.2 D.4

【答案】C

【解析】由椭圆的定义可知两个焦点的距离之和为 2 .

【例 2】已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与

双曲线的右支分别交于，两点，△ 的内切圆半径为，△ 的内切圆半

径为，若，则直线的斜率为　　．

【答案】

【解析】记△ 的内切圆圆心为，

边、、上的切点分别为、、，

易见、横坐标相等，

则，

，

由，

即，

得，

即，记的横坐标为，则，，

于是，得，

同样内心的横坐标也为，则有轴，

设直线的倾斜角为，则，，

在中，，

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