《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题15 数形结合思想（解析版）

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专题 15 数形结合思想

专题点拨

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，

从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有

机结合．

(1)数形结合思想解决的问题常有以下几种：

① 构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围；

② 构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围；

③ 构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系；

④ 构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；

⑤ 构建立体几何模型研究代数问题；

⑥ 构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；

⑦ 构建方程模型，求根的个数；

⑧ 研究图形的形状、位置关系、性质等．

(2)数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题、选

择题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力

和速度．具体操作时，应注意以下几点：

① 准确画出函数图像，注意函数的定义域；

② 用图像法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得

注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便

于作图)，然后作出两个函数的图像，由图求解．

(3)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：

① 要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；

② 要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；

③ 要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；

④ 精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，

以便于问题求解．

例题剖析

一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用

【例 1】　若方程 x2－4x＋3＋m＝0在x∈(0，3)时有唯一实根，求实数 m的取值范围．

【解析】　利用数形结合的方法，直接观察得出结果．

原方程可化为－(x－2)2＋1＝m(0<x<3)，设 y1＝－(x－2)2＋1(0<x<3)，y2＝m，在同一坐

标系中画出它们的图像(如图所示)．由原方程在(0，3)内有唯一解，知 y1与y2的图像只有一

个公共点，可得 m的取值范围是(－3，0]∪{1}．

【变式训练 1】已知函数 f(x)＝若函数 g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数 m的取值范

围为________．

【答案】(0，1)　

【解析】　函数 f(x)＝

＝，

画出其图像如图所示．

又由函数 g(x)＝f(x)－m有3个零点，知 y＝f(x)与y＝m有3个交点，则实数 m的取值

范围是(0，1).

【例 2】　设点，，若点在线段上，则的取值范围

是

A. B.

C. D. 以上都不对

【答案】

【解答】

解：如图，取点，

则的取值范围等价于直线的斜率的取值范围，

因为点，，点在线段上，

则直线的斜率满足：或，

又，，

所以或，

即的取值范围为．

故选A．

二、数形结合思想在不等式求最值问题、求方程的根的相关问题中的应用

【例 3】若 x，y满足约束条件则的最大值为________．

【答案】　3　

【解析】　作出约束条件确定的可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可

行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点 A与原点连线的斜率最大．联立，解得

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