《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题04函数的最值问题（解析版）

3.0 envi 2025-03-06 18 4 1.32MB 36 页 3知币
侵权投诉
2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 04 函数的最值问题
函数是数学的灵魂，是高中数学的主干知识，贯穿高中数学始终.函数的最值是函数的重要性质，与其他数
学知识联系紧密，在数学建模、最优化等问题中也有广泛的应用.它蕴含了函数与方程、数形结合、分类讨
论、等价转化等重要数学思想，是历年高考的必考内容.分析历年各地高考试卷中涉及的函数最值问题，主
要有以下特点:(1)总体难度中等偏上.(2)最值问题的呈现形式通常有三种.其一，直接给出函数求其最值，这
类题常以客观题形式出现；其二，在解答题中作为子问题出现，难度中等；其三，隐性呈现，如不等式恒
成立、有解等问题，几何或应用题中的最优化问题，需要对问题进行二次转化，化归为最值问题，这类题
难度较大.(3)近几年试卷中出现多变量函数的最值问题，这类题形式简单但难以找到解题突破口，虽然可以
通过转化化归为常见问题，但转化难度较大，对考查学生的思维能力确有其独到之处 .由于函数最值问题难
度较大，思维要求较高，常导致部分学生对某些问题“无从下手”或“会而不对，对而不全” .解决这一难
题，需从三方面入手:
(1)加强对最值概念的理解，注意其两个要素缺一不可(一是不等式对定义域中任意值恒成立，二是确保等
号取到)，通过多角度对常见函数最值问题的研究，再次回顾探求最值问题的常用策略和基本思想，拓宽解
题思路，增强选择意识和求简能力，熟悉探求最值的基本技能，培养直观想象能力；
(2)通过对较复杂的函数、多变量函数的最值问题的探求，强化转化化归意识，增强学生发现问题、分析问
题和解决问题的能力；
(3)通过最值概念与其他知识的综合运用，增强数学应用意识，培养数学模型和数据分析等综合能力.
本专题拟用两个课时完成，第一课时让学生在教师的帮助之下自主建构知能体系，并通过相关训练熟悉基
本方法，体会其中蕴含的数学思想.第二课时着重研究多变量函数最值问题和最值的简单应用问题，提升学
生的转化意识和数学应用能力.
1自主建构，联珠结网
“学之道在于悟”.经过前面的复习，学生已掌握了不少函数最值的求法，但稍显零碎、分散，没有进行归
纳总结.放手让学生自主盘点研究过哪些函数的最值?分别有哪些方法?尝试提炼其中蕴含的数学思想.由此总
结得出探求一次函数、二次函数、三次函数、简单一次分式函数、二次分式函数等常见代数函数最值的基
本方法和思想，进一步总结与指数函数、对数函数相关的函数以及简单的无理函数、含绝对值函数等超越
考点命题分析
函数最值的探求方法，突出向代数函数转化的意识，提炼数形结合、函数与方程、分类讨论、等价转化等
数学思想.让学生自我总结，历经自主建构知能体系的过程，有助于提升学生对最值问题的认识，培养回顾
反思的意识和概括总结的能力.
2立足基础，温故知新
“学数学重在做数学”.在自主建构出较为完善的知识体系的基础上，用以下几个与函数最值相关的问题，
熟识最值问题的常用处理策略，提升思路的选择与甄别能力，加强学生数学思想的渗透与培养.
例1－1函数 的最小值为 .
思路探求:
解法 1，由 (x∈[1，2])，
当a≥4 时， ，f(x)在区间[1，2]上递减，此时最小值为 ；
当a≤1 时， ，f(x)在区间[1，2]上递增，此时最小值为 f(1)=1+a；
当1<a<4 时，由 f(x)在区间 内递减，在区间 内递增，此时最小值为 .
因此，.
解法 2:作为客观题，直接利用“模型”即可获得函数的单调性.当a<0 时，f(x)为“双刀”型函数，在区间
(0，+∞)内单调递增；当a>0 时，f(x)为“双勾”型函数，在区间 内递减，在区间 内递增；
当a=0 时，f(x)=x在区间(0，+∞)内单调递增，由此同样可以得到结论.
方法点睛:通过研究函数的单调性探求最值是求函数最值的基本策略之一 .掌握常见的函数模型对明确求解
目标、提高解题速度大有益处.除常见的多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数外，研究并积累一些常
见的函数模型图像及其性质(如 ， 等)，增强数学模型意
识，有助于提升学生的数学能力.
例1－2设函数 的最小值为 1，求实数a取值的集合.
思路探求:
解法 1，由该二次函数的对称轴为直线，故可以就与区间[1，3]的关系分三种情形进行讨论，并求得
其最小值 ，由 g(a)=1 可得a取值集合为{4}.
解法 2:从最小值的定义出发，由 f(x)最小值为 1，即当 x∈[1，3]时，x2－ax+5≥1 恒成立，且存在x0∈[1，3]
使“=”成立，亦等价于当x∈[1，3]时，a≤恒成立，且存在使“=”成立.由最小值定义可知，
a即为函数 的最小值.易求“双勾”函数 h(x)在区间[1，3]上的最小值为 4，故而a取
值集合为{4}.
方法点睛:解法 1想法自然，是一种正向思维方式，充分体现了分类讨论的数学思想.解法 2两次使用最值定
义，将含参函数最值问题转化为不含参数的函数最值问题，较之解法 1，过程更为简捷，这在已知含参函
数最值求参数这类问题中常被使用，但在使用最值定义时应注意两个要素(“不等式恒成立”和“使等号成
立”)，缺一不可.
例1－3函数 y=2x－的最小值为
思路探求:
解 法 1，为 了 处 理 二 次 根式 ， 将 原 式 化 为 ， 两 边 平 方 可 得
《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题04函数的最值问题（解析版）.docx

共36页,预览5页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：高中 价格：3知币 属性：36 页 大小：1.32MB 格式：DOCX 时间：2025-03-06

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 36
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注