《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题09三角函数的性质（解析版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 09 三角函数的性质
三角函数是一类重要的基本初等函数，它既是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问
题的工具，因此，三角函数的性质是全国各地高考数学的重点内容.从考纲要求看，要求理解正弦函数、余
弦函数在区间 上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x轴的交点等)，理解正切函数在区间
内的单调性，了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实
际问题.从考试题型看，既考小题，也考大题，小题侧重综合，多与图像联系在一起；大题难度下降，由通
过复杂的恒等变形转换来考查思维能力，回归到对基础知识、基本技能和基本思想方法的考查 .从考查内容
看，着重考查“两域”(定义域、值域)和“七性”(单调性、奇偶性、对称性、周期性、有界性、最值、零
点).从命题形式看，常常与平面向量、不等式、函数与导数等知识交汇命题 .三角函数性质的研究有赖于
“一式”(三角函数解析式)和“一图”(三角函数图像)、“一线”(三角函数线)和“一算”(三角运算等代数
运算).下面以近三年的高考题为例，进行分类阐述.
1借助三角函数图像研究三角函数的性质
三角函数的图像可以直观地反映三角函数的性质，详见下表.
函数
图像
定义域 R R
值域 R
考点命题分析
周期性 最小正周期为 最小正周期为 最小正周期为
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性
增区间：
减区间：
增区间：
减区间：
增区间：
没有减区间
对称性
对称轴：
对称中心：
对称轴：
对称中心:
对称中心：
没有对称轴
因此，借助三角函数的图像研究其性质，是最常用的方法之一.
例1已知 ，在函数 与 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为 ，则
.
思路探求:本题主要考查三角函数的图像与性质.直接求解较为抽象，但在同一直角坐标系中作出两个相关
函数的图像，则可以化抽象为具体，从而较快找到解题思路.
由题意，两个函数图像交点间的最短距离，即相邻两个交点间的距离，设相邻两交点的坐标分别为
，如图所示，
则.
为函数 的两个相邻零点之间的距离，
恰好为函数最小正周期的一半，故 ，解得 .
变式提升:将函数 f(x)=sin2x的图像向右平移 个单位后得到函数 g(x)的图像.若对满足|f(x)－g(x)|
=2 的 ，有 ，则 ( )
A. B. C. D.
思路探求本题是上一题的“姊妹题”，其创新点在于将三角函数的图像、最值和数形结合思想、化归与转
化思想巧妙地结合在一起，解题思路依然是“作图(略)一假设一列式一求解”
由已知得 .
因 为 ， 不 妨设y=f(x)，y=g(x)分 别 取得最大值与最小值，又 ，令
，此时，且，故 ，选D
2借助三角函数线研究三角函数的性质
利用单位圆上的有向线段即三角函数线表示三角函数值，可以便捷地呈现三角函数的几何性质 .尤其在求解
三角方程、三角不等式和三角函数最值等问题时，三角函数线显得简单快捷.
正弦线的起点随着角的终边移动而移动，余弦线的起点为坐标原点O，正切线的起点总是点 A(1，0)，这是
学生比较容易出错的地方，如图所示.
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