《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题24立体几何中的综合问题（解析版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 24 立体几何中的综合问题
1问题提出
立体几何是高中数学主干知识之一，在全国卷中，一般是选择题、填空题、解答题各一题，共计 22 分.考
查的知识点包括:空间几何体的结构、直观图和三视图；空间几何体的表面积、侧面积、体积、棱长、点面
距离和空间角的计算；与平面相关的四个公理和一个定理；与平行与垂直有关的八个定理 .突出考查数学抽
象、直观想象、逻辑推理、数学运算等数学素养.
全国卷对立体几何的考查，以“三个观点”统一组织材料，一是“定型”考查，通过三视图、直观图来识
图，用图作为空间想象能力考查的开始；二是“定性”考查，以判定定理和性质定理为核心，证明直线与
直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，进行思维发散考查；三是“定量”考查，以空间角、表面积、
体积和高的计算进行思维聚合考查.试题坚持以空间想象能力立意，选择题和填空题注重几何图形构图的想
象和辨识，解答题以垂直(平行)论证为核心，展开角的计算(理科)、体积和高的计算(文科)，注重空间向量
在处理空间角过程中的作用，体现几何问题代数化的思想(理科).高考对立体几何知识的考查，有将立体几
何知识体系向其他知识体系过渡综合考查的趋势，与导数、不等式、三角函数等知识综合考查，同时注重
对数学文化的渗透.立体几何知识是考查考生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学素养的重要
载体.基于此，笔者从以下几个方面展开本专题的综合复习.
2通过识图、变图想图、构图、用图，培养空间想象能力
2.1 以三视图为载体的问题
三视图是用平面图形来表征空间几何体的结构特征，凸显降维思想，即三维变二维，在现实世界中有着广
泛的应用，如零件、建筑物的图纸，等等.因此，三视图是全国卷每年必考的内容.三视图所表征的几何体
是什么，具有怎样的结构特征，如何作出所表示的几何体的直观图是难点.
例1如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱
中，最长的棱的长度为( )
考点命题分析
A．B．C．6 D．4
思路探究:此题作为选择题的压轴题，突出以能力立意的命题思想，考查学生的空间想象能力和识图、变图、
想图和用图的能力.三视图都是三角形，但从三视图想象出该三视图所表示的几何体是难点.其核心问题是
原来的几何体是什么?根据题意构造正方体 ，如图，再利用交轨思想，通过线线的交点确
定几何体顶点位置.可知三视图所表示的几何体就是四面体 .再计算各棱长进行比较，不难得出答案，
应选 C.
方法点睛:解决三视图问题的基本思路，追根溯源是将三视图所表示的几何体恢复成原图.若三视图表示多
面体，能建立三视图所表示的几何体与长方体、正方体、直棱柱等之间关系，我们就将原始的长方体正方
体直棱柱画出，利用交轨思想，找到几何体的各个顶点，是突破难点的有效举措.
2.2 以图形折叠为载体的问题
折叠问题是立体几何中的常见问题，在折叠过程中，哪些要素保持不变，以及折叠到终止状态时所形成的
几何体结构特征，是解决折叠问题的关键要素.
例2如图所示，圆形纸片的圆心为 O，半径为5cm，该纸片上的等边△ABC 的中心为 O.D，E，F为圆O上
的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以
BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化
时，所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为 .
思路探究:折叠终止时，几何体是一个正三棱锥.这个正三棱锥底面边长是一个变元，从而导致三棱锥体积
的变化.如图所示，联结OE 交AC 于G，根据圆、等腰三角形、等边三角形图形对称性，可知 OE⊥AC.虽
然在折叠过程中，线段OE 变为折线，但 OG，GE 与AC 的垂直关系始终没有发生变化，OG+GE=5 没有发
生变化.又O是等边△ABC 的中心，就可以建立 OG 与等边△ABC 边长之间的关系.设△ABC 的边长为 a，
折叠后 D，E，F重合于点 D'，则 .
，所以 .
故正三棱锥的高 .
根据体积公式可知 .
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