《决胜2022年新高考数学中档题提分精练》第10讲 随机变量及其分布列、期望与方差（解析版）

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第10 讲 随机变量及其分布列、期望与方差
题型一：二项分布
1．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有 4个红球、6个
白球的甲箱和装有 5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的 2个球中，若都是红球，
则获得一等奖；若只有 1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖 1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有 3次抽奖机会，记该顾客在 3次抽奖中或一等奖的次数为 ，求 的分布列、数学期望
和方差．
【解答】解：（1）设顾客抽奖 1次能中奖的概率为 ．
，
（2）设该顾客在一次抽奖中获一等奖的概率为 ，
，
故而 ．
， ，
， ．
故 的分布列为
0123
数学期望 ，方差 ．
2．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图如图所示：老板根据销
售量给以店员奖励，具体奖励规定如表：
销售量 个
奖励金额（元
0 50 100 150
（1）求在未来连续 3天里，店员共获得奖励 150 元的概率
（2）记未来连续 2天，店员获得奖励 元，求随机变量 的分布列及数学期望 ．
【解答】解：（1）由频率直方图得店员一天获得 50 元、100 元、150 元的概率分别是 0.3，0.2，0.1，一天
不得奖励的概率是 0.4，
所以在未来连续 3天里，店员共获得奖励 150 元的概率为 ；
（2） 的可能取值为 0，50，100，150，200，250，300，则
， ，
，
，
，
，
，
的分别列是：
0 50 100 150 200 250 300
0.16 0.24 0.25 0.20 0.10 0.04 0.01
．
3．某学生在上学路上要经过 4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，
遇到红灯时停留的时间都是 ．
（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（2）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 的概率；
（3）求这名学生在路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列、期望及方差．
【解答】解：（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 ，
事件 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，
事件 的概率为 （A） ；
（2）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 为事件 ，
这名学生在上学路上遇到 次红灯的事件 ，1， ；
由题意得： ，
，
；
由于事件 等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，
所以事件 的概率为 （B） ；
即这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 的概率为 ；
（3）由题意可得 可能取的值为 0，2，4，6，8（单位：
事件“ ”等价于事件“该学生在路上遇到 次红灯” ，1，2，3， ，
，
的分布列是
0 2 4 6 8
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