《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第09讲 三极值点问题（解析版）

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第09 讲 三极值点问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共 10 小题）
1．（2021 秋•襄城区校级月考）已知函数 （其中 为常数）．
（1）当 时，对于任意大于 1的实数 ，恒有 成立，求实数 的取值范围；
（2）当 时，设函数 的 3个极值点为 ， ， ，且 ，求证： ．
【解答】解：（1） 时， ，即 成立，
令 ，则 ，
，
①， ， 在 上是增函数，
时， （1） ，满足题意；
②时，令 ，解得 ， ，
， ， 在 上是减函数，
， （1） ，不合题意，舍去，
综上可得， ；
（2）由题， ，
对于函数 ，有 ，
函数 在 上单调递减，在 ， 上单调递增
函数 有 3个极值点 ，
从而 ，所以 ，
当 时， （a） ， （1） ，
函数 的递增区间有 ， 和 ， ，递减区间有 ， ， ，
此时，函数 有 3个极值点，且 ；
当 时， ， 是函数 的两个零点；
即有 ，消去 有
令 ， 有零点 ，且
函数 在 上递减，在 ， 上递增
证明
， 即证
构造函数 ，则
只需要证明 ， 单调递减即可．
而 ， ，
在 ， 上单调递增，
当 时， ．
2．（2021•市中区校级模拟）已知函数 ，且函数 在 处取到极值．
（1）求曲线 在 ， （1） 处的切线方程；
（2）若函数 ，且函数 有 3个极值点 ， ， ，证明：
．
【解答】解：（1） ， ，
函数 在 处取到极值， （1） ，即 ．
则 ， （1） ，
曲线 在 ， （1） 处的切线方程为 ；
（2） ，
函数的定义域为 且 ，
，
令 ，
， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
（1） ， （2） ，
在 内存在零点，
设 ， ，
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